Die Ableitung einer Funktion.

3.1.1 Die Ableitung einer Funktion.

Es seien $K_{1} \in {ℝ, ℂ}$ und $K_{2} \in {ℝ, ℂ}$ . Die Menge $X$ sei eine offene Teilmenge von $K_{1}$ . Wir betrachten Funktionen $f : X \to K_{2}^{n}$ , $n \in ℕ$ .¹

Da $X$ eine offene Menge ist, so gehört mit jedem ihrer Elemente $x_{0} \in X$ auch $x_{0} + h$ zu $X$ , wenn nur $h \in U_{ε (x_{0})} (0)$ , $ε (x_{0}) > 0$ . Damit ist der Differenzenquotient

φ (f; h, x_{0}) : = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

für $h \in U_{ε (x_{0})} (0)$ und $x_{0} \in X$ definiert.

Definition 3.1.1. Eine Funktion $f$ ist im Punkt $x_{0} \in X$ differenzierbar, genau dann wenn der Grenzwert

f^{'} (x_{0}) = f_{x}^{'} (x_{0}) = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}} : = lim_{h \to 0} φ (f; h, x_{0})

(3.1)

existiert. Eine Funktion $f$ heisst differenzierbar in $X$ genau dann wenn $f$ in jedem Punkt $x_{0} \in X$ differenzierbar ist. Die Funktion $f^{'}$ nennt man die Ableitung der Funktion $f$ .

¹Dabei handelt es sich also um reell oder komplex vektorwertige Funktionen ( $f (x) \in K_{2}^{n}$ ) einer reellen oder komplexen Variablen $x \in X \subset K_{1}$ .

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