Gegenstand der Vorlesung sind weiterführende Aspekte zur Analysis partieller Differentialgleichungen mit einem besonderen Fokus auf Probleme der direkten und inversen Streutheorie.
Streutheorie befasst sich mit der Frage, wie sich Hindernisse oder lokale Abweichungen in Koeffizienten auf das quantitative Verhalten von Lösungen partieller Differentialgleichungen auswirken. Im Falle hyperbolischer Gleichungen betrifft das die Brechung und Beugung von Wellen am Hindernis, aber ebenso lokale Dämpfungseffekte oder Resonanzeffekte. Für die der Evolution zugrundeliegenden elliptischen Probleme stellen sich Fragen bezüglich des Randverhaltens der Resolvente am Spektrum und deren meromorphe Fortsetzbarkeit durch das Spektrum hindurch.
| Dozent | Apl.-Prof. Dr. Jens Wirth |
| Vorlesung | Dienstag 9:45-11:15 Uhr im Raum 8.526 |
| Mittwoch 9:45-11:15 Uhr im Raum 8.526 | |
| Donnerstag 9:45-11:15 Uhr im Raum 8.526 | |
| Am 13.12. und in der Woche vom 17.12. bis 21.12. wird keine Vorlesung PDE II stattfinden. | |
| Übung | Ein Teil der Termine wird als Übung genutzt. Genaueres wird in der Vorlesung bekanntgegeben. |
| Prüfung | Mündlich nach Vereinbarung. |
| Fragen zur Prüfungsvorbereitung |
Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Funktionalanalysis und eine gewisse Grundvertrautheit mit klassischer Theorie partieller Differentialgleichungen oder der Numerik partieller Differentialgleichungen. Aufbauend darauf werden schwache Lösungsformulierungen in Sobolevräumen, quadratische Formen und Operatorhalbgruppen behandelt; grundlegende Aspekte der Lösungsdarstellung hyperbolischer Evolutionsgleichungen diskutiert und funktionale Modelle för die daraus resultierenden unitären Evolutionsfamilien konstruiert.
Streutheorie gibt es in zwei Ausprägungen. Einerseits als zeitabhängige Theorie, welche zwei Evolutionshalbgruppen, eine freie U_0(t) und eine gestörte U(t), miteinander vergleicht, indem sie Wellen- und Streuoperatoren konstruiert. Dabei handelt es sich um Grenzwerte von U_0(-t)U(t) für t gegen plus und minus Unendlich. Daneben existiert eine stationäre Streutheorie, welche diesen Vergleich auf der Ebene der Erzeuger der Halbgruppen durchführt und dazu das Verhalten der Resolventen in der Nähe des Spektrums diskutiert.
Neben dieser gerade angerissenen direkten Streutheorie, die ausgehend von den Gleichungen Streuoperatoren konstruiert, gibt es eine inverse Streutheorie. Bei dieser werden Streuoperatoren vorausgesetzt und daraus im Rückschluss die Koeffizientenstörung oder die Geometrie des Gebietes berechnet.
Wir werden beide Aspekte der Streutheorie diskutieren und dazu insbesondere Beispiele zu hyperbolischen Systemen auf Gebieten und zu Differentialoperatoren auf Graphen betrachten.
Skript: PDE2.pdf
Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben. Zu jedem Themenkomplex gibt es entsprechende Lehrbücher, ein einzelnes die gesamte Vorlesung abdeckendes Buch gibt es hier nicht. Nachfolgend aufgelistete Bücher können als vertiefendes und ergänzendes Material genutzt werden.
Sobolevräume und Randwertprobleme: