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der Satz vom Peripheriewinkel           PostScript-Version zum Ausdruck

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Please enable Java for an interactive construction (with Cinderella). Please enable Java for an interactive construction (with Cinderella). Sie können die Punkte in der Skizze mit der Maus bewegen (wenn Sie vorher die entsprechende Schaltfläche angewählt haben). 		Für alle Dreiecke ABC, bei denen C auf einem festen Kreisbogen (der Peripherie) über der festen Sehne AB liegt,
ist der Winkel  <(ACB) gleich.

Es sei M der Mittelpunkt des Kreises.
Zum Beweis benutzen wir nichts als den Satz über die Winkelsumme im Dreieck, sowie die Tatsache, dass die Radien MA, MB und MC gleich sind. In den gleichschenkligen Dreiecken AMC, CMB und BMA erhalten wir daher jeweils zwei gleiche Winkel (vgl. die Farb-Kodierung in der Skizze).

Wir nehmen zuerst an, dass M und der Kreisbogen auf der gleichen Seite bzgl. der Sehne liegen. Dann gilt:

2 <(BAM) = 180o - <(AMB)

2 <(BAM) +  2 <(MAC) + 2 <(MCB) = 180o

also

<(AMB) = 2 (<(MAC) + <(MCB)) = 2 <(ACB) .

Damit hängt der fragliche Peripheriewinkel nur vom Innenwinkel über der Sehne ab.

Den Fall, dass M und der Kreisbogen auf verschiedenen Seiten liegen, kann man auf den zuerst behandelten Fall zurückführen:
(die folgenden Schritte können Sie durch wiederholtes Drücken des "?"-Feldes anzeigen lassen)

Um zu zeigen, dass auch der Winkel <(BDA) nur von <(BAM) abhängt, führen wir den Punkt D' auf dem Kreis so ein, dass BD' und DA parallel sind. Es ergibt sich:

<(BDA) = <(DAD') = 180o - <(AD'B) = 180o - <(ACB) = 180o - 1/2 <(AMB) .

(Man könnte auch den für den ersten Fall gegebenen Beweis übernehmen, wenn man die Vorzeichen der Winkel richtig auffasst.)

[an error occurred while processing this directive] erstellt von M. Stroppel mit Cinderella
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