Konfidenz

Worum geht es? Unser Ziel sind rationale Entscheidungen unter Unsicherheit, etwa Experimente und Messungen unter dem Einfluss von Zufällen oder allgemein Prozesse mit unsicherem Ausgang. Dazu wollen wir präzise Aussagen mit nachvollziehbaren Begründungen. Die Mathematik, hier speziell die Stochastik, bietet effiziente Werkzeuge und erfolgreiche Methoden für viele Probleme des Alltags und für technisch-wissenschaftliche Anwendungen. Wir erklären grundlegende mathematische Ideen und Methoden durch interaktive Spiele. Wir machen allgemein nützliche Techniken konkret spielbar; so kann man sie hoffentlich besser begreifen und schließlich verstehen. Auf dieser Seite geht es um die berühmt-berüchtigten Konfidenzintervalle. Die Regeln erklären wir vor dem Spiel. Viel Spaß!

Copyright © 2024–2025 Michael Eisermann, Institut für Geometrie und Topologie (IGT), Universität Stuttgart. Dieses interaktive Spiel dient der Lehre und ist für keinen anderen Zweck gedacht. Es darf verwendet werden unter den Bedingungen der Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License (CC BY-NC-SA 4.0).

Geschichte. Ich experimentere mit diesem Spiel seit Juni 2024 nach inspirierenden Diskussionen mit Friederike Stoll und Florian Post. Für Konfidenzintervalle gibt es die bewährten Formeln: überall routiniert angewendet, selten wirklich verstanden. Wir wollen diese wertvolle Technik interaktiv spielbar machen und so mit spürbarer Bedeutung aufladen.

Warum Spiele? Viele Menschen spielen gerne und lernen viel dabei, ganz besonders als Kinder, aber auch als Erwachsene. Im Spiel erproben wir Strategien und erfahren Konsequenzen, gefahrlos und wiederholbar, anregend und lernfreudig. Speziell für Konfidenzintervalle können wir hier das Gleichgewicht zweier Kräfte spüren und verstehen: Jede:r möchte das Intervall so schmal wie möglich machen, für hohe Präzision, doch zugleich so breit wie nötig, für ausreichende Konfidenz.

Erprobte Spielregeln: ❶ Alice wählt ihr Intervall [a,b] oder [x ± r s]. Enthält dieses den wahren Wert w, so bekommt Alice 1€ von Bob, andernfalls bekommt Bob 2€ von Alice. [In dieser naiven Version will Alice ihr Intervall möglichst breit wählen; als Gegenmaßnahme führen wir die zweite Regel ein.] ❷ Nachdem Alice gewählt hat, darf Bob das Intervall stehlen und so die Rollen tauschen. [So kann Bob allzu breite Intervalle abwehren.] ❸ Schließlich wird aufgedeckt und ausgezahlt.

Was bewirken diese Regeln? Alice muss gut justieren, und Bob muss kritisch prüfen: Zu schmal und Alice verliert 2€, zu breit und Bob stiehlt ihr Intervall. Was ist hier die beste Strategie? Probieren ergänzt studieren! Nach einigen Probespielen entsteht rasch ein interessantes Kräftegleichgewicht: das Konfidenzintervall! Diese spielerischen Lernprozesse und die Aha!-Momente kann man nur schwer in Worten vermitteln, man muss sie selbst erleben.

Mögliche Varianten: Die Spielleitung zahlt das (Spiel-)Geld aus, das schmerzt weniger und motiviert mehr. In der Schule bewährt sich Spielgeld, an der Uni plädiere ich für kleine Euro-Beträge. Gute Werte sind 1:2 als 1σ-Spiel, praxisrelevant aber schlechter spielbar sind 1:19 als 2σ-Spiel und 1:99 als 3σ-Spiel. Diese Webseite ermöglicht, dass Alice und Bob gleichzeitig ihre Intervalle wählen, das verteilt die Last symmetrisch und gerecht.

Simulation oder Theorie? Am besten beides! Die hier gezeigte Simulation ist konkret und anschaulich, hat aber auch ihre Nachteile: Deutlich sichtbar sind die zufälligen Schwankungen. Die Simulation ist bei kleinem Rechenaufwand noch sehr rau und bei großem Rechenaufwand rasch ineffizient. Die theoretische Vorhersage hingegen scheint zunächst weniger anschaulich, erweist sich dann aber als wunderbar präzise und effizient: Ein Hurra auf den zentralen Grenzwertsatz! Die so entstehende Normalverteilung zeigt die 68-95-99-Regel, diese erweist sich als Gewinnstrategie.

Mathematik wirkt! Denken hilft! Wir erleben dies hier spielerisch.

Prof. Weitz / HAW Hamburg: Was ist eigentlich Wahrscheinlichkeit? (Der Streit der Statistiker)

Vermutlich hatten Sie schon erste Kontakte mit Wahrscheinlichkeit, in Schule oder Uni, Ausbildung oder Beruf. Vielleicht möchten Sie nun mehr wissen. Für einen guten Überblick empfehle ich dieses wundervolle Video. Freundlich und ruhig führt es durch Geschichte und Anwendung, ebenso mitreißend wie kenntnisreich erklärt es die widerstreitenden Interpretationen. Klausurwissen sammeln Sie hier nicht, aber Sie verstehen worum es eigentlich geht. Diese 90 Minuten sind gut investiert! (Ihr Studium bietet Ihnen die ersehnte Vertiefung: Wissen und Können erwerben Sie in Vorlesung und Übung!)

Interpretation: Frequenz vs Bayes? Spiele bauen die Brücke! Wir wollen aus Daten lernen, also Erfahrung zu Erkenntnis machen. Konfidenzintervalle, Hypothesentests, usw. stehen dabei im Zentrum des Grundlagenstreits: Wie interpretieren wir Wahrscheinlichkeit? Auf der einen Seite frequentistisch (Experiment, objektiv, physikalisch), auf der anderen Seite bayesianisch (Information, subjektiv, philosophisch). Dazwischen steht neutral – und etwas ratlos – die mathematische Theorie (Rechenregeln, axiomatisch, agnostisch). Jede der drei Sichtweisen betont und erklärt wichtige Aspekte. Hier helfen konkrete Implementierungen, wie unser Spiel, und vermitteln zwischen den Standpunkten!

Ist das relevant? Oh, ja! Wahrscheinlichkeit und Statistik wird überall genutzt, vom Labor zur Produktion, natürlich in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch in Wirtschaft und Politik, in Medizin und Psychologie, in Sozial- und Erziehungswissenschaften, einfach überall, zuletzt prominent im Maschinellen Lernen und in der Künstlichen Intelligenz. Die Stochastik ist allgegenwärtig, ob wir wollen oder nicht, daher beeinflusst ihre Kenntnis und ihre Nutzung unser aller Leben. Lernen lohnt sich!

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