Seminar zur Kategorientheorie

Dies ist keine lästige Pflichtveranstaltung, sondern die wunderbare Gelegenheit, Mathematik zu lernen und anderen zu erklären. Learning by teaching. Sie bringen Freude an der Mathematik mit, konkret und abstrakt, sowie den unbändigen Willen, anderen mit Ihrem Vortrag schöne und anspruchsvolle Themen zu vermitteln. Das ist extrem schwer, wie Sie selbst in jeder Vorlesung erkennen können, doch die Investition lohnt sich, ein Leben lang! Ein gutes Seminar kann Sie über Jahre prägen und inspirieren. Ich spreche aus Erfahrung: Mein Werdegang wurde entschieden durch die Vorträge, die ich gehalten habe.

Die dunkle Seite: Ein schlechtes Seminar ist leider ebenso traumatisierend – für alle Teilnehmer:innen, auch für mich! Ersparen Sie sich und mir und allen die übliche Tragödie: Nur der:die Vortragende lernt etwas, gerade genug für einen lausigen Vortrag, und damit foltert er:sie alle anderen als Geiseln. Vielleicht empfinden ja manche ihre Vorlesungen genau so, denken dieses sinnlose Leiden sei im Studium völlig normal und wollen sich mit ihrem Seminarvortrag an der Welt rächen... Nein!!! Sie wollen es besser machen! Sie werden es besser machen.

Als Zuhörende haben Sie gut geplante und geübte Vorträge verdient, als Vortragende haben Sie die höchsten Ansprüche an Ihre Präsentation. Nochmal: Dies ist keine lästige Pflichtveranstaltung, sondern die wunderbare Gelegenheit, Mathematik zu lernen und anderen zu erklären.

Zum Glück gibt es hierzu einen einfachen Test: Lesen Sie die Einleitung von Leinster (Seite 1 bis 8), er schließt sogar mit schönen Übungen, die Sie unbedingt versuchen sollten. Wenn Sie dabei wohlige Schauer des "Aha" und des "Achso" erleben, dann kann das Thema Sie begeistern. Andernfalls würde ich vermuten, dass Sie für diesen Schritt noch nicht bereit sind, oder er für Sie in die falsche Richtung geht. Erkenne dich selbst!

Alle Bücher und Kurse über Kategorientheorie behandeln mindestens den harten Kern: Kategorien, Funktoren, Transformationen, Äquivalenz, Co/Limites, Darstellung, Yoneda Lemma, Adjunktion. Sie gründen jedoch auf unterschiedlich viel mathematisch-kulturellen Voraussetzungen und bieten verschiedene Ergänzungen: Je mehr Mathematik Sie bereits kennen, desto mehr Struktur können Sie hier wiedererkennen und illustrative Beispiele genießen.

Ich suche noch den idealen Kompromiss für dieses Seminar, vermutlich müssen wir den gemeinsam ausloten. Das schöne Buch von Leinster ist einfach zugänglich und vor allem kurz – manchmal auch einfach zu kurz. Als Student habe ich das Thema aus Saunders MacLane gelernt, das ist allerdings deutlich dichter geschrieben und im ersten Anlauf nicht leicht zugänglich. Nach dem Seminar jedoch ist es für Sie die beste Referenz.

Das Buch von Riehl setzt mehr mathematischen Hintergrund voraus als Leinster, mit wohlüberlegter didaktischer Begründung: „The text that follows is littered with examples drawn from a broad range of mathematical areas. The examples are included for color or historical context but are never essential for understanding the abstract category theory. In principle, one could study category theory immediately after learning some basic set theory and logic, as no other prerequisites are strictly required, but without some level of mathematical maturity it would be difficult to see what the point of it all is. We hope that the majority of examples are comprehensible in outline, even if the details are unfamiliar.“ Genau so ist es!

Das Buch von Awodey setzt wenig mathematischen Hintergrund voraus, ähnlich wie Leinster, nimmt jedoch explizit die theoretische Informatik und konstruktive Mathematik in den Blick. „As researchers in Computer Science or Logic, many will need to be familiar with the basic notions of Category Theory, without the benefit of much further mathematical training. The Mathematics undergraduates are in a similar boat: mathematically talented, motivated to learn the subject by its evident relevance to their further studies, yet unable to follow MacLane because they still lack the mathematical prerequisites. Most of my students do not know what a free group is (yet), and so they are not illuminated to learn that it is an example of an adjoint.“ Auch diese Herangehensweise ist gut durchdacht.

Die Ausrichtung auf Typentheorie mit Anwendungen in Informatik und formalen Beweisen ist eine spannende Weiterentwicklung und würde viele sicher begeistern. Als Ergänzung können wir ja in der Zukunft ein Seminar über univalente Mathematik machen; sie vertritt immerhin den vollmundigen Anspruch, eine moderne Grundlage der gesamten Mathematik zu bieten.

Die Einführungen von Milewski und Barr–Wells nehmen sich explizit die Informatik zum Ziel und entwickeln die Kategorientheorie sehr schön anhand der Programmierung. Diese Verbindung gelingt erfreulich pragmatisch und erleuchtend. Das ist für manche Studierende der Mathematik vielleicht eine schöne Brücke zu konkreten Anwendungen, if you are so inclinded.