Michael Eisermann

If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how complicated life is.
John von Neumann (1903-1957)

Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten

Seminar im Sommersemester 2010.

Seminar Mo 15:45 - 17:15 Raum V57-8.333

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Aktuelles

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Einleitung und Motivation

Die Theorie der dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten hat in den letzten Jahren spektakuläre Fortschritte gemacht. Der sehr lesenswerte Wikipedia-Artikel zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten gibt hierzu einen guten Überblick und nennt weiterführende Literatur. Für öffentliches Aufsehen sorgte vor allem Perelmans spektakulärer Beweis der Poincaré-Vermutung.

Zur Einordnung in den allgemeinen geometrischen Kontext sei betont, dass das Studium der n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in niedriger Dimension besondere Phänomene enthüllt und maßgeschneiderte Techniken nutzt. In Dimension 2 kennen Sie die Klassifikation der geschlossenen Flächen, also aller kompakten 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ohne Rand. Diesen Satz kann man durch "Schneiden und Kleben" beweisen, und es liegt nahe, Ähnliches auch in Dimension 3 zu versuchen.

Mannigfaltigkeiten in Dimension ≥ 4 hingegen sind viel komplizierter und ihre allgemeine Klassifikation ist beweisbar unmöglich. Hier sind allerdings spezielle Klassen wie die einfach-zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten einer Klassifikation zugänglich. Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass die Klassifikation in Dimension 2 leicht, in Dimension 4 aber schwierig bis unmöglich ist. In der dazwischen liegenden Dimension 3 ist die Situation zwar kompliziert aber nicht hoffnungslos.

Zielsetzung des Seminars

Dieses Seminar widmet sich grundlegenden, zumeist klassischen Techniken der 3-dimensionalen Topologie. In der ersten Hälfte untersuchen wir die Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten entlang von Sphären und Tori in irreduzible und atoroidale Bausteine. Diese Zerlegung ist schon für sich genommen interessant und bildet zudem den Ausgangspunkt von Thurstons Geometriesierung. (Letztere können wir zwar formulieren aber mit unseren topologischen Techniken leider nicht weiter verfolgen.)

Der zweite Teil untersucht Heegaard-Zerlegungen entlang von Flächen höheren Geschlechts. Wir gelangen so zur Dehn-Chirurgie und dem Kirby-Kalkül: Diese bieten eine effiziente Möglichkeit, beliebige (orientierte, zusammenhängende, geschlossene) 3-Mannigfaltigkeiten zu konstruieren und mittels geeigneter Invarianten zu untersuchen. Dieser Zugang bildet eine Brücke zur Knotentheorie und Quanteninvarianten.

Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden die Grundvorlesungen sowie die Einführung in die Topologie, insbesondere Fundamentalgruppe und Überlagerungen sowie die Klassifikation der kompakten Flächen. Einige differential-topologischen Hilfsmittel werden wir ohne Beweis zitieren und direkt anwenden. Homologische Methoden aus der Algebraischen Topologie sowie ein wenig Knotentheorie sind nützlich aber nicht unabdingbar. Alles Notwendige kann je nach Vorkenntnissen in Vortragsform nachgeholt werden.

Literatur

Die weiter unten vorgeschlagenen Themen folgen im ersten Teil dem Skript von Hatcher und im zweiten Teil dem Buch von Prasolov und Sossinsky. (Wenn Sie Vorlieben oder Abneigungen haben, sind Variationen und Permutationen möglich.)

[Ha]
A. Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology, online Skript 2000.
[PS]
V. Prasolov, A. Sossinsky: Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, AMS 1997.

Ergänzende Literatur je nach Thema:

[Ro]
D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish 1976, AMS 2003.
[Li]
W.B.R. Lickorish: Introduction to Knot Theory, Springer 1997.
[Mu]
J. Munkres: Topology, Prentice Hall 2000.
[Mo]
E. Moise: Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Springer 1977.
[He]
J. Hempel: 3-Manifolds, Princeton 1976 / AMS 2004.
[Mi]
J. Milnor: Collected Papers Vol. 2: The Fundamental Group, AMS 2005.
  • A unique decomposition theorem for 3-manifolds, pp 237-243.
  • On 3-dimensional Brieskorn manifolds, pages 245-295.
[KS]
R. Kirby, M. Scharlemann: Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere, Geometric Topology (Georgia Topology Conf. 1977), pp. 113-146.

Zum Nachlesen differential-topologischer Hilfsmittel:

[Ha']
A. Hatcher: Algebraic Topology, C.U.P. 2002, auch online frei zugänglich.
[BJ]
T. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer 1990.
[Hi]
M.W. Hirsch: Differential Topology, Springer 1997.

In der Bibliothek wird ein Präsenzregal zu diesem Seminar eingerichtet.

Themen des Seminars

Die folgenden Themen sind von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad, aber insgesamt eher anspruchsvoll. Jedes Thema lässt sich modulieren, und auch die Themenfolge lässt sich durch geeignete Auswahl an den Teilnehmerkreis anpassen.

  1. Die Sätze von Schönflies und Alexander [Mu,Mo,Ha]
  2. Verbundene Summe und Primzerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten [Ha,Mi,He]
  3. Der Schleifen- und Sphären-Satz von Papakyriakopoulos [Ha,Ro,He]
  4. Linsenräume und Seifert-Mannigfaltigkeiten [Ha,PS,He]
  5. Torus-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten [Ha]
  6. Homologie-Sphären, insbesondere die Poincaré-Sphäre [PS,KS,Mi]
  7. Heegaard-Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten [PS,Li,He]
  8. Kurven auf dem 2-Torus und seine Abbildungsklassengruppe [Ro]
  9. Abbildungsklassengruppe von Flächen, Chirurgie auf 3-Mannigfaltigkeiten [PS,Li]
  10. Dehn-Chirurgie und Kirby-Kalkül für 3-Mannigfaltigkeiten [PS,Li]
  11. Quanteninvarianten von 3-Mannigfaltigkeiten: Konstruktion [PS,Li]
  12. Quanteninvarianten von 3-Mannigfaltigkeiten: Beispiele [PS,Li]

Termine im SoSe 2010 – vorläufige Planung

Die folgende Terminplanung ist noch vorläufig und wird schrittweise aktualisiert.

Vorlesungsbeginn am 19. April 2010
S01Vorbesprechung
S02Michael Eisermann: Verbundene Summe und der Mazur-Schwindel
S03Michael Eisermann: Die Sätze von Schönflies und Alexander
S04Philipp Schmid: Primzerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten
S05Andre Zieher: Linsenräume und Seifert-Mannigfaltigkeiten
Vorlesungsfreie Zeit vom 24. Mai bis 28. Mai 2010 (Pfingstwoche)
S06Marcel Hoffmann: Torus-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten
S07Denis Diewold: Homologie-Sphären, insbesondere die Poincaré-Sphäre
S08Jonathan Spreer: Heegaard-Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten
S09(entfällt)
S10Jourdan/Lingel/Ostermann: Abbildungsklassengruppe des 2-Torus
S11Jourdan/Lingel/Ostermann: Abbildungsklassengruppe von Flächen
S12Jonathan Spreer: Dehn-Chirurgie und Kirby-Kalkül für 3-Mannigfaltigkeiten
S13Johannes Renkl: Quanteninvarianten von 3-Mannigfaltigkeiten
Vorlesungsende am 24. Juli 2010