Quantumque scio nemo dubium contra hanc rem movit. Attamen si quis postulat,
demonstrationem nullis dubiis obnoxiam alia occasione tradere suscipiam.
— Soviel ich weiß hat dies niemand je in Zweifel gezogen. Sollte es dennoch jemand fordern,
so will ich zu anderer Gelegenheit einen unzweifelhaften Beweis erbringen.
Carl Friedrich Gauß in seiner Doktorarbeit über den Fundamentalsatz der Algebra (1799)

Fundamentalsatz der Algebra

Proseminar im Wintersemester 2009/2010.

Proseminar

Mo 15:45 - 17:15

Raum V57-8.135

Da ich erst zum Wintersemester 2009 meine Professur in Stuttgart angetreten habe, konnte dieses Proseminar erst mit Semesterbeginn kurzfristig organisiert werden.

Aktuelles

Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: aktuelle und vergangene Lehrveranstaltungen

Einleitung und Motivation

Der Fundamentalsatz der Algebra gibt Auskunft über die Lösbarkeit von Polynomgleichungen. Er besagt schlicht und ergreifend:

Jedes komplexe Polynom vom Grad n hat n komplexe Nullstellen.

Man sagt dazu auch, der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. Dieses Ergebnis wird nach Gauß auch Fundamentalsatz der Algebra genannt, auf englisch Fundamental Theorem of Algebra. Genauer (und bescheidener) müsste man ihn heutzutage Fundamentalsatz der Algebra der komplexen Zahlen nennen.

Der Fundamentalsatz der Algebra wird oft benutzt, zitiert, gelehrt,... und verdient daher eine angemessene Aufmerksamkeit. Sein Beweis und das Verständnis seiner Grundlagen sind ein Meilenstein der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Er ist auch heute noch aktuell, zum Beispiel im Hinblick auf seine algorithmischen und numerischen Aspekte.

Zielsetzung

Seit Gauß' Dissertation 1799 wurden zahlreiche Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra entwickelt, wahlweise mit Hilfsmitteln der Analysis, der Algebra oder der Topologie. Das Ziel dieses Proseminars ist es, eine repräsentative und erleuchtende Auswahl dieser Beweise und ihre jeweiligen Grundlagen zu erarbeiten. Hierzu wird ein Großteil der Kenntnisse des Grundstudiums aktiviert, aufgefrischt und angewendet, zugleich wird die historische Perspektive der Mathematik geschärft.

Voraussetzungen

Das Proseminar ist für Studierende im Lehramtsstudiengang und im Bachelor- bzw. Diplomstudiengang gleichermaßen geeignet. Die vorgeschlagenen Themen sind, der Zielsetzung eines Proseminars entsprechend, auf das zweite Studienjahr abgestimmt.

Die Vorträge sind thematisch und im Schwierigkeitsgrad breit gefächert und weitgehend voneinander unabhängig. Die vorgeschlagenen Beweise sind so elementar wie möglich und mit den Hilfsmitteln der Anfängervorlesung zugänglich. Je nach Neigung und Kenntnissen der Teilnehmer sind Vertiefungen und Erweiterungen möglich.

Termine im WiSe 2009

Aufbau des Zahlensystems: Axiomatik und Konstruktion
S01 Mo 09.Nov	M.Eisermann, Von den natürlichen zu ganzen und rationalen Zahlen
S02 Mo 16.Nov	M.Eisermann, Ringe und Körper, Beispiele und Konstruktionen
S03 Mo 23.Nov	M.Eisermann, Reelle Zahlen, Axiomatik und Konstruktionen
Vier klassische Beweise: analytisch, algebraisch, topologisch
S04 Mo 30.Nov	V.Wenzel, Analytischer Beweis nach Argand-Cauchy
S05 Mo 07.Dez	R.Marczinzik, Komplex-analytischer Beweis nach Liouville
S06 Mo 14.Dez	B.Böhmler, Algebraischer Beweis nach Laplace
S07 Mo 21.Dez	I.Gufan, Topologischer Beweis mittels Umlaufzahl
Ein reell-algebraischer Beweis nach Sturm und Cauchy
S08 Mo 11.Jan	S.Stamenkovic, Der Satz von Sturm über reelle Polynome
S09 Mo 18.Feb	S.Stamenkovic, Der Satz von Cauchy über komplexe Polynome