Fundamentalfolgen und Vollstandigkeit.

2.2.2 Fundamentalfolgen und Vollständigkeit.

Definition 2.2.6. In einem metrischen Raum $(M, d)$ heißt eine Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ , $x_{n} \in M$ für $n \in ℕ$ , Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge, genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\forall_{ε > 0, ε \in ℝ} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{m, n \geq N_{ε}, m, n \in ℕ} d (x_{n}, x_{m}) < ε .

(2.10)

Wir schreiben in diesem Fall kurz ${x_{n}}_{n \in ℕ} \in C F ((M, d))$ .

Theorem 2.2.7. In einem metrischen Raum ist jede konvergente Folge auch eine Fundamentalfolge.

Beweis. Aus $x_{n} \overset{(M, d)}{\to} y$ folgt für jedes $ε > 0$ die Existenz von $N_{ε ∕ 2}$ so dass $d (x_{n}, y) < \frac{ε}{2}$ für $n \geq N_{ε ∕ 2}$ . Für beliebige $n, m \geq N_{ε ∕ 2}$ gilt damit nach der Dreiecksungleichung (2.9)

d (x_{n}, x_{m}) \leq d (x_{n}, y) + d (y, x_{m}) = d (x_{n}, y) + d (x_{m}, y) < ε,

also ${x_{n}}_{n \in ℕ} \in C F ((M, d))$ . □

Definition 2.2.8. Ein metrischer Raum $(M, d)$ heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in $(M, d)$ gegen einen Grenzwert aus $M$ konvergiert.

Example 2.2.9. Der metrische Raum $(Q, | \cdot |)$ ist nicht vollständig, betrachten Sie dazu das Beispiel aus Problem 1.7.11.

Folgender Satz von Cauchy spielt eine tragende Rolle in der Theorie der reellen Zahlen.

Theorem 2.2.10. Der metrische Raum $(ℝ, d_{| \cdot |})$ mit der euklidschen Abstandsfunktion $d_{| \cdot |} (x, y) = | x - y |$ ist ein vollständiger metrischer Raum.

Im verbleibenden Teil dieses Paragraphen widmen wir uns zunächst dem Beweis dieses Satzes.

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