Offensichtlich gilt , wobei wie schon erwähnt die kleinste transfinite Kardinalzahl ist. Man kann sich nun die Fragen stellen, ob es Mengen gibt, deren Mächtigkeit strikt zwischen jener der abzählbaren Mengen und der des Kontinuums liegt. Mit anderen Worten: Gibt es eine Kardinalzahl mit ? Die berühmte Kontinuumshypothese verneint die Existenz einer solchen Kardinalzahl . Diese Vermutung wurde 1878 von Cantor aufgestellt und viele bekannte Mathematiker versuchten, sie entweder zu beweisen oder zu widerlegen.
Im Jahr 1938 zeigte Gödel, dass sich die Kontinuumshypothese aus der bekannten Axiomatik der Mengenlehre nicht widerlegen lässt. Weitere 25 Jahre später bewies Cohen, dass dieselbe Axiomatik der Mengenlehre nicht genügt, um die Kontinuumshypothese zu beweisen.12
12Hier liegt die Situation vor, dass ein Axiomensystem die Formulierung von Aussagen ermöglicht, welche nicht im Rahmen desselbigen auflösbar sind. Eine solche “Unvollkommenheit” tritt zwangsläufig für alle Axiomensysteme auf, welche die natürlichen Zahlen einschliessen. Diese an der “Perfektion” der Mathematik rüttelnde Erkenntnis ist als Unvollständigkeitssatz von Gödel bekannt.