Die Vergleichsrelationen auf den reellen Zahlen

Definition 1.8.8. Für $x, y \in ℝ$ , $x ∋ {r_{n}}_{n \in ℕ}$ , $y ∋ {s_{n}}_{n \in ℕ}$ mit ${r_{n}}_{n \in ℕ}, {s_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ gelte

x < y \overset{def}{\Leftrightarrow} \exists_{\overset{a_{1}, a_{2} \in ℚ}{a_{1} < a_{2}}} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n \geq N} (r_{n} < a_{1} < a_{2} < s_{n}) .

(1.35)

Zunächst ist die Korrektheit der Definition, d.h. die Unabhängigkeit von der konkreten Wahl der darstellenden Fundamentalfolgen ${r_{n}}_{n \in ℕ}, {s_{n}}_{n \in ℕ}$ zu zeigen: Es seien ${r_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ}, {s_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ mit ${r_{n}^{'}} \sim {r_{n}}$ und ${s_{n}^{'}} \sim {s_{n}}$ . Es gelte (1.35). Wegen $a_{1} < a_{2}$ ist $ε = 3^{- 1} (a_{2} - a_{1}) > 0$ . Aus der Äquivalenz der entsprechenden Repräsentanten folgt die Existenz von Zahlen $N_{ε, r}$ und $N_{ε, s}$ mit

\forall_{n \geq N_{ε, r}} | r_{n} - r_{n}^{^{'}} | < ε, \forall_{n \geq N_{ε, s}} | s_{n} - s_{n}^{^{'}} | < ε .

Damit gilt

r_{n}^{'} < r_{n} + ε < a_{1} + ε < a_{2} - ε < s_{n} - ε < s_{n}^{'}

für alle $n \geq N^{^{'}} : = max {N_{ε, r}, N_{ε, s}}$ . Wegen $a_{1}^{^{'}} : = a_{1} + ε \in ℚ$ und $a_{2}^{^{'}} : = a_{2} - ε \in ℚ$ ist damit die Definition 1.8.8 ebenfalls erfüllt.

Die Relationen $\leq$ und $\geq$ sowie $>$ können wie üblich ausgehend von $<$ definiert werden.

Beweis. Wir betrachten zwei Fundamentalfolgen ${r_{n}}_{n \in ℕ} \in x$ und ${s_{n}}_{n \in ℕ} \in y$ und führen folgende Fallunterscheidung durch:

Fall 1: $lim_{n \to \infty} (r_{n} - s_{n}) = 0$ . Dann ist ${r_{n}}_{n \in ℕ} \sim {s_{n}}_{n \in ℕ}$ und damit $x = y$ .

Fall 2: $\begin{array}{rcl} \neg lim_{n \to \infty} (r_{n} - s_{n}) = 0 & \Leftrightarrow & \neg (\forall_{\overset{ε \in ℚ}{ε > 0}} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n \geq N} | r_{n} - s_{n} | < ε) \\ \Leftrightarrow & \exists_{\overset{ε \in ℚ}{ε > 0}} \forall_{N \in ℕ} \exists_{n \geq N} | r_{n} - s_{n} | \geq ε . & (1.36) \end{array}$

Gleichzeitig sind ${r_{n}} \in CF (ℚ)$ , ${s_{n}} \in CF (ℚ)$ , d.h. für $\tilde{ε} = ε ∕ 3 > 0$ (mit $ε$ aus (1.36)) gibt es eine natürliche Zahl $N_{\tilde{ε}}$ , so dass

\forall_{n, m \geq N_{\tilde{ε}}} ((| r_{n} - r_{m} | < ε) \land (| s_{n} - s_{m} | < ε)) .

(1.37)

Wähle nun in (1.36) $N = N_{\tilde{ε}}$ und setze $n_{0} = n$ mit $n$ aus dem letzten Term in (1.36). Wegen $| r_{n_{0}} - s_{n_{0}} | \geq ε$ und (1.37) sowie (1.18) gilt damit entweder $\begin{array}{rcl} \forall_{m \geq N_{\tilde{ε}}} & r_{m} < r_{n_{0}} + ε = a_{1}^{'} < a_{2}^{'} = s_{n_{0}} - ε < s_{m} \\ oder & \forall_{m \geq N_{\tilde{ε}}} & s_{m} < s_{n_{0}} + ε = a_{1}^{^{″}} < a_{2}^{^{″}} = r_{n_{0}} - ε < r_{m} . \end{array}$

Da sowohl $a_{1}^{'}, a_{2}^{'} \in ℚ$ als auch $a_{1}^{^{″}}, a_{2}^{^{″}} \in ℚ$ gilt, so ist wegen ${r_{n}}_{n \in ℕ} \in x$ und ${s_{n}}_{n \in ℕ} \in y$ entweder $x < y$ oder $y < x$ wahr. □

1.8.3 Die Vergleichsrelationen auf den reellen Zahlen