Unbestimmtheiten vom Typ 0∕0.

Wir betrachten im weiteren Grenzwerte vom Typ

lim_{x \to x_{0}} f (x) ∕ g (x)

wobei

f (x_{0}) = g (x_{0}) = 0

Theorem 3.12.1. Die Funktionen $f :] a, b [\to K^{n}$ und $g :] a, b [\to K$ mit $K = {ℝ, ℂ}$ seien in einem Punkt $x_{0} \in] a, b [$ differenzierbar und es gelte

f (x_{0}) = g (x_{0}) = 0 sowie g^{'} (x_{0}) \neq 0 .

Dann ist der Quotient $\frac{f (x)}{g (x)}$ in einer $ε$ -Umgebung des Punktes $x_{0}$ wohldefiniert und es existiert der Grenzwert

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{'} (x_{0})}{g^{'} (x_{0})} .

(3.48)

Beweis. Aus der Differenzierbarkeit von $g$ im Punkt $x_{0}$ folgt

g (x) = g^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0}) für x \to x_{0},

damit gilt $g (x) \neq 0$ für $x \in U_{ε} (x_{0}) \ {x_{0}}$ für ein geeignetes $ε > 0$ . Folglich ist $f (x) ∕ g (x)$ in $U_{ε} (x_{0}) \ {x_{0}}$ definiert. Desweiteren gilt

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0})}{g^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0})} für x \to x_{0} .

Jede Funktion $ψ = o (x - x_{0})$ lässt sich als Produkt $ψ (x) = (x - x_{0}) \tilde{ψ} (x)$ mit $\tilde{ψ} = o (1)$ darstellen, woraus nach Kürzen mit $x - x_{0}$

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{'} (x_{0}) + o (1)}{g^{'} (x_{0}) + o (1)} für x \to x_{0}

folgt. Da $g^{'} (x_{0}) \neq 0$ , so erhält man daraus

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{'} (x_{0})}{g^{'} (x_{0})} + o (1) für x \to x_{0} .

Letzteres impliziert (3.48). □

Theorem 3.12.3. Die Funktionen $f :] a, b [\to K^{n}$ und $g :] a, b [\to K$ mit $K = {ℝ, ℂ}$ seien in einem Punkt $x_{0} \in] a, b [$ $m$ -fach differenzierbar und es gelte

f^{(k)} (x_{0}) = g^{(k)} (x_{0}) = 0, k = 1, \dots m - 1, sowie g^{(m)} (x_{0}) \neq 0 .

Dann ist der Quotient $\frac{f (x)}{g (x)}$ in einer $ε$ -Umgebung des Punktes $x_{0}$ wohldefiniert und es existiert der Grenzwert

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{(m)} (x_{0})}{g^{(m)} (x_{0})} .

(3.49)

Example 3.12.5. Wir berechnen den Grenzwert $lim_{x \to x_{0} = 0} \frac{sin x - x}{x^{3}}$ . Für $g (x) = x^{3}$ gilt $g^{'} (x) = 3 x^{2}$ , $g^{''} (x) = 6 x$ und $g^{'''} (x) = 6$ und damit

g (0) = 0, g^{'} (0) = 0, g^{''} (0) = 0 g^{'''} (0) = 6 .

Für $f (x) = sin x - x$ erhält man $f^{'} (x) = cos x - 1$ , $f^{''} (x) = - sin x$ , $f^{'''} (x) = - cos x$ und entsprechend

f (0) = 0, f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - cos 0 = - 1 .

Damit ergibt sich

lim_{x \to x_{0} = 0} \frac{sin x - x}{x^{3}} = \frac{- cos (0)}{6} = - \frac{1}{6} .

Theorem 3.12.6. Die Funktionen $f :] a, b [\to ℝ^{n}$ und $g :] a, b [\to ℝ$ seien in $] a, b [$ differenzierbar. Es gelte

lim_{x \to a} f (x) = 0, lim_{x \to a} g (x) = 0 sowie g^{'} (x) \neq 0 für x \in] a, b [.

Desweiteren existiere der Grenzwert

lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = A, A \in ℝ .

Dann existiert ebenfalls der Grenzwert

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = A .

Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall $n = 1$ . Die Funktionen $f$ und $g$ können durch die Definition $f (a) = 0$ und $g (a) = 0$ stetig auf $[a, x]$ für $x \in] a, b [$ fortgesetzt werden. Nach der Formel von Cauchy gilt dabei

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f (x) - f (a)}{g (x) - g (a)} = \frac{f^{'} (c_{x})}{g^{'} (c_{x})}

für geeignetes $c_{x} \in] a, x [$ . Strebt $x$ gegen $a$ , so konvergiert auch $c_{x}$ gegen $a$ . Nach Voraussetzung existiert dann der Grenzwert

A = lim_{c \to a} \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (c_{x})}{g^{'} (c_{x})} = lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} .

Für vektorwertige Funktionen $f$ wendet man dieses Argument individuell auf jede einzelne Komponente dieser Funktion an. □

Die Regel von Bernoulli und l’Hospital lässt sich nicht auf Brüche mit komplexwertigen Funktionen

g

im Nenner verallgemeinern. Formal scheitert der Beweis daran, dass die Formel von Cauchy nicht für komplexwertige Funktionen gilt. Folgendes Gegenbeispiel soll dies zusätzlich illustrieren:

Example 3.12.8. Es sei $f (x) = x$ und $g (x) = x + x^{2} e^{\frac{i}{x^{2}}}$ mit $x > 0$ . Man berechnet die Ableitungen von $f$ und $g$ als $f^{'} (x) = 1$ und $g^{'} (x) = 1 + 2 (x - \frac{i}{x}) e^{i ∕ x^{2}}$ . Nach der Dreiecksungleichung gilt

| g^{'} (x) | \geq |2 (x - \frac{i}{x}) e^{i ∕ x^{2}}| - | 1 | = 2 \sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} - 1 \geq \frac{2}{x} - 1 = \frac{2 - x}{x} .

Daraus folgt $|\frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}| \leq \frac{x}{2 - x}$ und $A = lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ , während auf der anderen Seite offensichtlich

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to 0} \frac{x}{x + x^{2} e^{i ∕ x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \underset{o (1)}{\underset{︸}{x e^{i ∕ x^{2}}}}} = 1 \neq A

gilt.

Man kann die Regel von Bernoulli und l’Hospital auch für Grenzwerte

x \to + \infty

anwenden. Dazu betrachten wir die differenzierbaren Funktionen

f, g :] b, + \infty [\to ℝ

b > 0

, welche durch die Substitution

x = t^{- 1}

in die ebenfalls differenzierbaren Funktionen

\tilde{f}, \tilde{g} :] 0, b^{- 1} [\to ℝ

mit

\tilde{f} (t) = f (t^{- 1})

\tilde{g} (t) = g (t^{- 1})

übergehen. Die Ableitungen dieser Funktionen stehen in folgendem Zusammenhang

Gilt also

g^{'} (x) \neq 0

für

x \in] b, + \infty [

, so folgt

{\tilde{g}}_{t}^{'} (t) \neq 0

für

t \in] 0, b^{- 1} [

. Es gelte

3.12.1 Unbestimmtheiten vom Typ 0∕0.

3.12.1 Unbestimmtheiten vom Typ $0 ∕ 0$ .