Differenzierbare konkave und konvexe Funktionen.

Angenommen die Funktion

f

ist konvex. Als links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert monotoner beschränkter Funktionen existiert in jedem Punkt

x_{0} \in] a, b [

jeweils die links- und die rechtsseitige Ableitung

Die Ungleichung zwischen diesen einseitigen Ableitungen folgt direkt aus der Monotonie des Differenzenquotienten im Argument

h

. Ist

f

differenzierbar, so kann man die Kriteria der Konvexitt und Konkavität folgendermaßen formulieren:

Theorem 3.11.5. Die Funktion $f :] a, b [\to ℝ$ sei in $] a, b [$ differenzierbar. Dann gelten folgende zwei Aussagen:

Die Funktion $f$ ist genau dann konvex in $] a, b [$ , wenn $f^{'}$ in $] a, b [$ monoton wächst. Die Funktion $f$ ist genau dann konkav in $] a, b [$ , wenn $f^{'}$ in $] a, b [$ monoton fällt.

Beweis. Wir betrachten die Frage der Konvexitt und benutzen die oben eingeführten Bezeichnungen $x \in] x_{1}, x_{2} [\subset] a, b [$ . Nach der Formel von Lagrange gibt es Punkte $ξ_{1} \in] x_{1}, x [$ und $ξ_{2} \in] x, x_{2} [$ mit

f^{'} (ξ_{1}) = \frac{f (x) - f (x_{1})}{x - x_{1}}, f^{'} (ξ_{2}) = \frac{f (x_{2}) - f (x)}{x_{2} - x} .

Angenommen, die Funktion $f^{'}$ ist in $] a, b [$ monoton wachsend. Dann gilt wegen $ξ_{1} < ξ_{2}$ auch $f^{'} (ξ_{1}) \leq f^{'} (ξ_{2})$ woraus (3.45) und somit die Konvexitt von $f$ folgt. Umgekehrt folgt für konvexe Funktionen aus Satz 3.11.2 $φ (f; h, ξ_{1}) \leq φ (f; h, ξ_{2})$ für $ξ_{1} < ξ_{2}$ und damit im Grenzwert $h \to 0$ auch $f^{'} (ξ_{1}) \leq f^{'} (ξ_{2})$ . □

Theorem 3.11.6. Die Funktion $f :] a, b [\to ℝ$ sei in $] a, b [$ zweifach differenzierbar. Dann gelten folgende zwei Aussagen:

Gilt $f^{''} (x) \geq 0$ für alle $x \in] a, b [$ , so ist die Funktion $f$ konvex in $] a, b [$ .

Gilt $f^{''} (x) \leq 0$ für alle $x \in] a, b [$ , so ist die Funktion $f$ konkav in $] a, b [$ .

Beweis. Wir betrachten die Frage der Konvexitt. Aus $f^{″} (x) \geq 0$ folgt, dass $f^{'}$ monoton wächst. Nach Satz 3.11.5 ist $f$ damit konvex. □

3.11.2 Differenzierbare konkave und konvexe Funktionen.