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3.11.1  Definition und äquivalente Beschreibungen.

Definition 3.11.1. Eine Funktion f :]a,b[→ ℝ heißt konvex in ]a,b[ genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

∀x1,x2∈]a,b[∀t∈[0,1]f(tx1 + (1 − t)x2) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2).

Eine Funktion f heisst konkav in ]a,b[ genau dann wenn − f in ]a,b[ konvex ist.

In der geometrische Interpretation bedeutet dies, dass die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (x1,f(x1)) und (x2,f(x2)) oberhalb des Graphen (x,f(x)) liegt.

Wir betrachten nun zwei Punkte x1,x2 ∈]a,b[ mit x1 < x2 und schreiben einen dritten Punkt x ∈]x1,x2[ als x = x1t + (1 − t)x2 mit t ∈]0, 1[. Dabei berechnet sich t als

t = x2 − x x2 − x1,1 − t = x − x1 x2 − x1,x ∈]x1,x2[.

Die Funktion f ist nach Definition genau dann konvex, wenn

f(x) ≤ x2 − x x2 − x1f(x1) + x − x1 x2 − x1f(x2),x ∈]x1,x2[.

Dies ist äquivalent zu der Ungleichung

f(x)(x2 − x1) ≤ (x2 − x)f(x1) + (x − x1)f(x2),x ∈]x1,x2[,

und nach den zwei weiteren äquivalenten Umformungen ⇔f(x)(x2 − x) − f(x)(x1 − x) ≤ (x2 − x)f(x1) + (x − x1)f(x2) ⇔(f(x) − f(x1))(x2 − x) ≤ (f(x2) − f(x))(x − x1)

erhält man, dass f genau dann konvex ist, wenn

f(x) − f(x1) x − x1 ≤f(x2) − f(x) x2 − x x ∈]x1,x2[. (3.45)

Wählt man hier x = x1 + h, x2 = x + h so geht diese Ungleichung in

φ(f; h,x1) ≤ φ(f; h,x),φ(f; −h,x) ≤ φ(f; −h,x2)

für h > 0 und x ∈]x1,x2[ über. Da diese Punkte frei gewählt sind bedeuten diese Ungleichungen, dass die Funktion φ(f; h,x) monoton in x wächst.

Theorem 3.11.2. Die Funktion f :]a,b[→ ℝ ist genau dann konvex, wenn der Differenzenquotient φ(f; h,x) monoton in x wächst.

Wegen

f(x2) − f(x1) x2 − x1 = f(x2) − f(x) x2 − x x2 − x x1 − x + f(x) − f(x1) x − x1 x − x1 x2 − x1

ist (3.45) äquivalent zu

φ(f; x2 − x1,x1) = f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≥f(x) − f(x1) x − x1 = φ(f; x − x1,x1) (3.46)

für beliebiges x ∈]x1,x2[. Auf gleichem Wege erhält man die Äquivalenz zu

φ(f; x1 − x2,x2) ≤ φ(f; x − x2,x2),x ∈]x1,x2[. (3.47)

Die erste dieser Ungleichungen bedeutet, dass φ(f; h,x1) für h > 0 monoton in h wächst; die zweite Ungleichung bezeugt, dass φ(f; h,x2) für h < 0 monoton in h wächst. Da x1 und x2 beliebig gewählt sind, so erhält man folgende äquivalente Beschreibung konvexer Funktionen:

Theorem 3.11.3. Die Funktion f :]a,b[→ ℝ ist genau dann konvex, wenn der Differenzenquotient φ(f; h,x0) für beliebiges x0 ∈]x1,x2[ monoton in h wächst.

Problem 3.11.4. Beweisen Sie, dass eine in ]a,b[ konvexe (oder konkave) Funktion in ]a,b[ stetig ist!

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