3.8  Der Satz von Taylor

Wiederum ist X eine offene Teilmenge von K = {, }. Wir betrachten eine Funktion f : X Kn.

Theorem 3.8.1. Ist f in einem Punkt x0 X m-fach differenzierbar, so gilt

f(x0 + h) = f(x0) + k=1m 1 k!f(k)(x 0)hk + r m(h) (3.31)

mit

rm(h) = o(hm)fürh 0,h K,m . (3.32)

Das Polynom

Tm(x0; h) = f(x0) + k=1m 1 k!f(k)(x 0)hk

in h nennt man die Taylorreihe (Taylorentwicklung) für die Funktion f im Punkt x0 bis zur Ordnung O(hm).

Beweis. Es ist zu zeigen, dass

rm(h) = f(x0 + h) f(x0) k=1m 1 k!f(k)(x 0)hk= h 0o(hm). (3.33)

Offensichtlich ist rm(0) = 0. Weiterhin wenden wir die vollständige Induktion in m an. Für den Induktionsanfang m = 1 wurde mit (3.15) bewiesen, dass die Differenzierbarkeit von f in x0 zu

r1(h) = f(x0 + h) f(x0) f(x 0)h = o(h),h 0,

äquivalent ist. Für den Induktionsschritt setzen wir 3.33 voraus und nehmen an, dass f in x0 m + 1-fach differenzierbar ist. Wir schätzen rm+1(h) = f(x0 + h) f(x0) k=1m+1 1 k!f(k)(x 0)hk = f(x0 + h) f(x0) k=1m+1 1 k!f(k)(x 0)hk rm(h) 1 (m + 1)!f(m+1)(x 0)hm+1

ab. Da f durch die Existenz höherer Ableitungen im Punkt x0 in einer Umgebung Uε(x0) differenzierbar ist, so gilt gleiches für rm+1(h) bezüglich der Variablen h Uε(0) K. Zudem ist rm+1 stetig auf 0h¯ Uε(0). Nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung ergibt sich damit

rm+1(h) rm+1(0) =0 sup h̃0h¯ rm+1(h̃) |h|,h U ε(0). (3.34)

Eine Differentiation des Ausdruckes für rm(h) in (3.33) führt zu rm+1(h) = f(x 0 + h) f(x 0) k=2m+1 1 k!f(k)(x 0)khk1 = f(x 0 + h) f(x 0) l=1m 1 l!f(l+1)(x 0)hl = g(x0 + h) g(x0) l=1m 1 l!g(l)(x 0)hl.

Wendet man die Induktionsvoraussetzung (3.33) auf die m-fach differenzierbare Funktion g = f an, so ergibt sich rm+1(h̃) = o(h̃m) und damit

rm+1(h̃) ϵ|h̃|m ϵ|h|mfürh̃ 0h¯,h U δϵ(0).

Setzt man dies in (3.34) ein, so erhält man schliesslich

rm+1(h) ε|h|m|h| = ε|h|m+1für|h| < δ ϵ.

Dies ist gleichbedeutend mit rm+1(h) = o(hm+1) für h 0. □

Example 3.8.2. Es sei f(x) = ex, x sowie x0 = 0. Wendet man (3.33) mit x = h und f(n)| x=0 = e0 = 1 an, so ergibt sich

ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xm m! + o(xm),x 0,x .

 

Example 3.8.3. Wir betrachten f(x) = sin x, x im Punkt x0 = 0. Dann gilt alternierend

f(x) = cos x,f(x) = sin x,f(3)(x) = cos x,f(4)(x) = sin x,

usw., woraus f(0) = 1, f(0) = 0, f(3)(0) = 1, f(4)(0) = 0, folgt. Dies ergibt die Taylorentwicklung

sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! ± + o(xm)

für die sin-Funktion im Nullpunkt.

Problem 3.8.4. Entwickeln Sie die Funktionen cos x, 1 1x, arctan x, (1 + x)α mit x,α im Punkt x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zur Ordnung O(xm).