Beweis. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an $f$ sei nicht gleichmässig stetig auf $X$. Die formale Negation von (2.79) liefert

$${\exists }_{{\epsilon }_0>0}{\forall }_{\delta >0}{\exists }_{x_{\delta }^{\prime },x_{\delta }^{″}\in X}\left(d_1\left(x_{\delta }^{\prime },x_{\delta }^{″}\right)<\delta \right)\wedge \left(d_2\left(f\left(x_{\delta }^{\prime }\right),f\left(x_{\delta }^{″}\right)\right)\ge {\epsilon }_0\right).$$

(2.80)

Wir betrachten ${\delta }_k=k^{-1}$. Nach (2.80) existieren dann zwei Folgen ${\left\{x_{{\delta }_k}^{\prime }\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ und ${\left\{x_{{\delta }_k}^{″}\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ mit

$$d_1\left(x_{{\delta }_k}^{\prime },x_{{\delta }_k}^{″}\right)<k^{-1}\text{und}{d}_2\left(f\left(x_{{\delta }_k}^{\prime }\right),f\left(x_{{\delta }_k}^{″}\right)\right)\ge {\epsilon }_0.$$

(2.81)

Da $X$ kompakt ist, kann man aus ${\left\{x_{{\delta }_k}^{\prime }\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Teilfolge ${\left\{x_{{\delta }_{k_j}}^{\prime }\right\}}_{j\in \mathbb{N}}$ auswählen, welche gegen einen Punkt $x^{\ast }\in X$ konvergiert. Wegen der ersten Beziehung in (2.81) konvergiert ${\left\{x_{{\delta }_{k_j}}^{″}\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ nach der Dreiecksungleichung ebenfalls gegen $x^{\ast }$. Da $f$ in $X$ stetig ist, so gilt

Dann konvergiert wegen

der Abstand $d_2\left(f\left(x_{{\delta }_{k_j}}^{\prime }\right),f\left(x_{{\delta }_{k_j}}^{\prime \prime }\right)\right)$ aber gegen Null, was der zweiten Abschätzung in (2.81) widerspricht. Folglich ist $f$ gleichmässig stetig. □