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Bilder von Kreisen unter Parallel-Projektion                 PostScript-Version zum Ausdruck

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Hier wird einerseits in Grund- und Aufriss die Parallel-Projektion eines waagrecht liegenden Kreises dargestellt: Die Projektionsrichtung liegt parallel zur Aufriss-Ebene, die Bildtafel steht senkrecht zur Aufriss-Ebene.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen. Andererseits wurde die Bildtafel so um 90o geklappt, dass sie in die Aufriss-Ebene fällt.

Für einige Punkte X auf dem Kreis ist die Konstruktion der Bilder X* angedeutet.

Wegen ihrer speziellen Lage zur Bildtafel werden die Radien MC und MD längentreu abgebildet. Zur Abbildung der Punkte A und B werden die Projektions-Strahlen im Aufriss (und in der umgeklappten Bildtafel) verfolgt; die Lage der Geraden A*B* ist wieder wegen der speziellen Wahl der Projektions-Richtung bekannt.

Zur Konstruktion der Bilder P* und Q* wurden die Hilfspunkte H1 und H2 auf den Strecken AD bzw. BD verwendet.

In Koordinaten lässt sich jede Parallel-Projektion zwischen zwei Ebenen des Raumes als Affinität beschreiben: Dabei geht die Gleichung eines Kreises in die Gleichung der durch affine Verzerrung gegebenen Ellipse über.

Liegt der abzubildende Kreis orthogonal zur Projektionsrichtung, so kann man die als Bild entstehende Ellipse über ihre Brennpunkte auch elementar geometrisch beschreiben: Dazu benutzt man nach Dandelin Kugeln, die den durch die Projektions-Strahlen der Kreispunkte bestimmten senkrechten Kreiszylinder sowie die Bildtafel berühren. Die Berührpunkte dieser Kugeln mit der Bildtafel sind die Brennpunkte der Ellipse.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen. Für jeden Punkt P auf dem Schnitt des Zylinders mit der Bildtafel (also im Bild des Kreises) fällen wir das Lot auf den Punkt Pm auf der Symmetrieachse des Zylinders.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Jetzt bestimmen wir die Abstände F1P und F2P nach Pythagoras: Es gilt

(F1P)2 = (M1P)2 -(M1F1)2
(F2P)2 = (M2P)2 -(M2F2)2 ,

andererseits

(M1P)2 = (M1Pm)2 +(PmP)2
(M2P)2 = (M2Pm)2 +(PmP)2 .

Da M1F1, M2F2 und PmP alle gleich dem Radius des Zylinders sind, erhalten wir    F1P=M1Pm und F2P=M2Pm,   woraus folgt, dass  F1P+F2P = M1M2  konstant ist: Dies ist die gesuchte Brennpunkt-Eigenschaft.

Will man Bilder von Kreisen verstehen, die nicht orthogonal zur Projektions-Richtung liegen, muss man wieder auf affine Abbildungen zurückgreifen.

[an error occurred while processing this directive] erstellt von M. Stroppel mit Cinderella
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