Geometrische Reihe (mit komplexen Zahlen)

An Hand der Spirale in der Schneckentreppe können wir ein weiteres Mal einer unendlich langen Addition zusehen:
Wir addieren jetzt aber nicht die Flächen, sondern die Kanten der Stufen.

Länge des Kantenzugs

Zunächst können wir die Längen der Kanten addieren. Die Kantenlänge einer Stufe steht zur Kantenlänge der folgenden (kleineren) Stufe immer im gleichen Verhältnis: die kürzere Kante hat die \(w\)-fache Länge der längeren, wobei (nach Pythagoras) \(w=\sqrt{½}\) die Wurzel aus ½ ist.

Wenn wir die Kantenlängen bis zur Nummer \(N\) zusammen addieren, erhalten wir

\( L_{0}+wL_{0}+w^{2}L_{0}+w^{3}L_{0}+\dots+w^{N}L_{0} \) \({}= (1+w+w^{2}+w^{3}+\dots+w^{N})L_{0} \) \({}= a_{N}L_{0} \);
dabei ist \(a_N = 1 + w + ... + w^{N}\) \({}= \sum\limits_{n=0}^Nw^n\).

Wenn wir nicht aufhören zu addieren, streben unsere Faktoren \(a_N = \sum\limits_{n=0}^Nw^n\) gegen das, was Mathematiker und Mathematikerinnen (und Artverwandte) mit \(\sum\limits_{n\ge0} w^{n}\) oder mit \(\sum\limits_{n=0}^\infty w^{n}\) bezeichnen.

Man kann begründen (dazu braucht man \(|w|<1\)), dass \(\sum\limits_{n=0}^\infty w^{n} = \dfrac{1}{1-w}\) gilt. Also streben die Faktoren \(a_N\) gegen \(\lim\limits_{N\to\infty}a_N \) \({}= \dfrac{1}{1-w} \) \({}= \dfrac{1+w}{1-w^{2}} \) \({}= \dfrac{1+\sqrt{½}}{1-½} \) \({}= 2+2\sqrt{½} \) \({}= 2+\sqrt2 \) \({}\approx 3,414213562\dots\) .

Demnach ist die Gesamtlänge des Kantenzugs eine Winzigkeit größer als \(3,414\cdot L_0\).
(Jemand war so freundlich, auf dem Campus die Länge \(L_0\) festzustellen: Mit der hier angemessenen Ablesegenauigkeit kommen wir auf \(L_0=510\) cm, was durch die Kantenlänge \(128\) cm \(\approx L_0/4\) der vierten Stufe bestätigt wird. Insgesamt kommen wir auf eine Gesamtlänge von etwa \(3,42\cdot510\) cm \(\approx 1744\) cm \(\approx 17,5\) m.)

Endpunkt des Kantenzugs

Jetzt wollen wir aber auch noch berücksichtigen, dass bei der Spirale die Kanten der Stufen in verschiedene Richtungen zeigen. Das geht schön, wenn wir die Punkte der Ebene mit komplexen Zahlen (siehe die Erläuterung weiter unten) beschreiben (und mit diesen Zahlen dann auch rechnen):

Bis auf Wahl der Längeneinheit können wir annehmen, dass die oberste Stufe Kanten der Länge \(1\) hat, also \(L_{0}=1\). Durch passende Wahl eines Koordinatensystems erreichen wir, dass die komplexen Zahlen \(\0\), \(\1\), \(q = ½(\1+\I)\), \(\1+\I\) und \(\I\) die Ecken unserer obersten Stufe sind.

Die zweite Stufe ist zur ersten um eine Achteldrehung im Uhrzeigersinn verdreht, und mit dem Faktor \(w = \sqrt{½}\) geschrumpft. Das erreicht man, indem man mit unserer komplexen Zahl \(q\) multipliziert (siehe die Erläuterung weiter unten). Das Ergebnis setzen wir am Punkt \(\1\) an.

Wenn wir so die zweite Kante an die erste ansetzen, erhalten wir einen Kantenzug, der von \(0\) über \(\1\) zu \(\1+q\) führt. Die dritte Kante erhalten wir durch erneute Multiplikation mit \(q\) (also Drehen und Schrumpfen) und setzen sie durch Addition an den schon bestehenden Kantenzug an: Der verlängerte Kantenzug führt jetzt von \(\0\) über \(\1\) und \(\1+q\) zu \(\1+q+q^2\).

Wir wiederholen dieses Verfahren immer wieder und erhalten Kantenzüge mit \(N\) Kanten, die von \(\0\) nach \(\1+q+q^2+q^3+q^4+\dots+q^N\) führen. Das Wachsen dieser Kantenzüge wird zu Beginn des animierten Bildes angedeutet.

Im animierten Bild entwickeln sich zuerst die Stufen, dann der Kantenzug, danach folgt die Interpretation mit komplexen Zahlen.

Wenn wir nicht aufhören, Kanten anzusetzen, erhalten wir einen Kantenzug, dessen Ende gegen \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\) strebt.
Man kann einsehen, dass \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n = \lim\limits_{N\to\infty} \sum\limits_{n=0}^N q^n\) \({}= \dfrac1{\1-q}\) gilt [dazu braucht man, dass der Betrag der komplexen Zahl \(q\) kleiner als \(1\) ist].
Für unser \(q = ½(\1+\I)\) ergibt sich \(|q| = \sqrt{½} \lt 1 \) und \(\dfrac1{\1-q} = \1+\I\).
Details der Rechnung findet man auf der Seite mit dem animierten Bild.

Komplexe Zahlen

Da komplexe Zahlen nicht zum arithmetischen Grundwissen gehören, folgt hier noch eine knappe Andeutung der Grundlagen.

Außer den Punkten einer Geraden (die wir – nach Festlegung von 0 und 1 – schon lange mit Zahlen identifizieren) werden wir jetzt alle Punkte in einer Ebene als Zahlen ansprechen.

Nach Einführung von zwei zu einander orthogonalen Koordinatenachsen beschreiben wir jeden solchen Punkt als ein Paar \((x,y)\) reeller Zahlen.

Drei der Punkte bekommen besondere Namen: Wir schreiben \(\0 = (0,0)\), \(\1 = (1,0)\), und \(\I = (0,1)\). Dann kann man jeden Punkt auch schreiben als \((x,y) = x\1+y\I\), mit reellen Zahlen \(x\) und \(y\). Wir sind auch so frech und schreiben dafür \(x+y\I\).

Die Addition von zwei Punkten ist einfach: Wir setzen \((a,b)+(x,y) = (a+x,b+y)\) — was man auch schreiben kann als \((a\1+b\I)+(x\1+y\I) = (a+x)\1+(b+y)\I\), bzw. als \((a+b\I)+(x+y\I) = (a+x)+(b+y)\I\).

Die Multiplikation sieht ein bisschen abgedrehter aus, wir setzen (scheinbar sehr willkürlich und unmotiviert) fest:
\((a,b)\cdot(x,y) = (ax-by,ay+bx)\).
Wenn wir diese Formel mit unserer alternativen Schreibweise wiederholen, sieht das schon natürlicher aus:
\((a+b\I)\cdot(x+y\I) \) \({}= (ax-by)+(ay+bx)\I\).
Das ist die Formel, die man erhält, wenn man unbesorgt mit den üblichen Rechenregeln drauflosrechnet und irgendwann \(\I\cdot\I=-1\) verwendet. Für \(q = ½(\1+\I)\) und \(z = x\1+y\I\) berechnen wir \(q\cdot z = ½(\1+\I)\cdot(x\1+y\I)\) \({}= ½(x-y)\1+½(y+x)\I\). Der Punkt \((x,y)\) geht also durch Multiplikation mit \(q\) über in den Punkt \(½(x-y,x+y)\). Man kann sich überzeugen (durch eine Skizze und Hilfe vom alten Pythagoras, oder durch Matrizenrechnung, ...) dass dies geometrisch eine Achteldrehung gegen den Uhrzeigersinn und Streckung (naja, Schrumpfung) mit dem Faktor \(\sqrt{½}\) bedeutet.