Hier sieht man die Entstehung des Kantenzugs: die Ecke mit Nummer \(N\) ist die komplexe Zahl \(S_N = \sum\limits_{n=0}^N q^N = \1+q+q^2+\cdots q^N\). Dabei ist \(q = ½(\1+\I)\).
Im animierten Bild entwickeln sich zuerst die Stufen, dann der Kantenzug, danach folgt die Interpretation mit komplexen Zahlen. Sie können die Animation neu starten, indem Sie die Seite neu laden.
Wegen
\(|q| = ½\sqrt{1^2+1^2} = \frac{\sqrt2}2 = \sqrt{½} \lt 1 \)
konvergiert die geometrische Reihe, und es gilt
\(
\sum\limits_{n=0}^\infty S_N
\)
\({}= \sum\limits_{n\ge0}^\infty q^N
\)
\({}= \dfrac1{\1-q}
\)
\({}= \dfrac1{\1-½(\1+\I)}
\)
\({}= \dfrac1{½(\1-\I)}
\)
\({}= \dfrac2{\1-\I}
\)
\({}= \dfrac{2\color{blue}{(\1+\I)}}{(\1-\I)\color{blue}{(1+\I)}}
\)
\({}= \1+\I\).
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