Eine Anwendung.

4.7.3 Eine Anwendung.

Es sei $f (x) = sin x$ mit $x \in X = [0, π]$ . Dann gilt bei $x_{0} = 0$ und $h = x$ nach (4.44)

sin x = sin (0) + x + r_{1} (0; x), r_{1} (0, x) = \frac{x^{2}}{2!} {sin}^{''} (ξ) = - \frac{x^{2}}{2!} sin (ξ) \leq 0

für ein geeignetes $ξ \in [0, 2 π]$ . Daraus folgt

sin x \leq x

zunächst für $x \in [0, π]$ (und damit offensichtlich für alle $x \geq 0$ ). Gleichfalls gilt

sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + r_{3} (0; x), r_{3} (0, x) = \frac{x^{4}}{4!} {sin}^{(4)} ξ = \frac{x^{4}}{4!} sin ξ \geq 0

für ein geeignetes $ξ \in [0, 2 π]$ . Daraus folgt

sin x \geq x - \frac{x^{3}}{3!}

für $x \in [0, π]$ .

Mit Hilfe solcher Ungleichungen kann man auch den numerischen Wert bestimmter Integrale abschätzen. Wir betrachten als Beispiel das bestimmte Integral $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{sin x}{x} d x$ . Aus

1 - \frac{x^{2}}{3!} \leq \frac{sin x}{x} \leq 1 für x \in] 0, π]

folgt $\begin{array}{rcl} 0.24 < & \frac{281}{1152} = & {x - \frac{x^{3}}{3 \cdot 3!}|}_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{x^{2}}{3!}) d x \\ \leq \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{sin x}{x} d x \leq \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} 1 d x = x |_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} = 0.25 . \end{array}$

und folglich $0.24 < \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{sin x}{x} d x < 0.25$ .

Problem 4.7.3. Wieviel Terme der Taylorentwicklung von $sin x$ im Punkt $0$ zu man betrachten, um $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{sin x}{x} d x$ auf diesem Wege bis auf $1 0^{- 8}$ genau zu berechnen?

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