Zur Definition kompakter Mengen.

2.13.1 Zur Definition kompakter Mengen.

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum.

Definition 2.13.1. Eine Menge $X \subset M$ heißt kompakt, genau dann wenn man aus jeder beliebigen Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ von Folgengliedern $x_{n} \in X$ eine Teilfolge¹⁹ ${x_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ auswählen kann, welche für $k \to \infty$ gegen einen Punkt in $X$ konvergiert.

Example 2.13.2. Es sei $X \subset ℝ$ eine endliche Menge

X = {x^{(1)}, \dots, x^{(M)}} .

Ist ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Folge mit $x_{n} \in X$ , so muss diese Folge nach dem Dirichletschen Schubfachprinzip mindestens eines der Elemente $x^{(k)}$ unendlich oft enthalten. Wir können dann aber die konstante Folge ${x^{(k)}, x^{(k)}, \dots}$ als Teilfolge wählen, welche offensichtlich gegen $x^{(k)} \in X$ konvergiert. Damit ist die Menge $X$ kompakt.

¹⁹Die Auswahl einer Teilfolge entspricht der Festlegung einer Abbildung $k \mapsto n_{k}$ von $ℕ$ in $ℕ$ mit der Eigenschaft $n_{k_{1}} < n_{k_{2}}$ für beliebige $k_{1} < k_{2}$ . Die Folge ${x_{n_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ ist dann die gewählte Teilfolge von ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ .

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