Geordnete Mengen

1.5 Geordnete Mengen

Es sei $A$ eine Menge und $R$ eine Relation in $A$ . Dann ist $R$ eine Ordnungsrelation in $A$ , falls die Eigenschaften $\begin{array}{rcl} \forall_{a \in A} (a ≺ a) & (Reflexivität), \\ \forall_{a_{1}, a_{2}, a_{3} \in A} (a_{1} ≺ a_{2}) \land (a_{2} ≺ a_{3}) \Rightarrow (a_{1} ≺ a_{3}) & (Transitivität), \\ \forall_{a_{1}, a_{2} \in A} (a_{1} ≺ a_{2}) \land (a_{2} ≺ a_{1}) \Rightarrow (a_{1} = a_{2}) & (Antisymmetrie) \end{array}$

erfüllt sind. Dabei steht $a_{1} ≺ a_{2}$ für $(a_{1}, a_{2}) \in R$ . Man nennt dann $a_{1}$ einen Vorgänger von $a_{2}$ , sowie $a_{2}$ einen Nachfolger von $a_{1}$ . Die Einheit von Menge und Ordnungsrelation $(A, ≺)$ bezeichnet man als teilweise geordnete Menge. Nicht alle Paare $a_{1}, a_{2}$ sind notwendigerweise vergleichbar. Eine Teilmenge $T \subset A$ heißt geordnet, falls für beliebige $a_{1}, a_{2} \in T$ gilt $(a_{1} ≺ a_{2}) \lor (a_{2} ≺ a_{1})$ .

Example 1.5.1. $(ℝ, \leq)$ ist eine geordnete Menge.

Example 1.5.2. $(ℕ, ≺)$ mit $n ≺ m \Leftrightarrow n | m$ ist eine teilweise geordnete Menge.

Example 1.5.3. Die Potenzmenge $P (A) = 2^{A}$ sei die Menge aller Teilmengen von $A$ . Man betrachtet dann die teilweise geordnete Menge $(P (A), ≺)$ definiert durch

M_{1} ≺ M_{2} \Leftrightarrow M_{1} \subset M_{2}, M_{1}, M_{2} \in P (A) .

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