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3.14  Der Satz von Darboux

Für eine in ]a,b[ differenzierbare Funktion f :]a,b[→ ℝ ist deren Ableitung ebenfalls eine Funktion f′ :]a,b[→ ℝ. Wir stellen uns nun die Frage, ob man Aussagen über die Eigenschaften von f′ treffen kann, ohne weitere Voraussetzungen (ausser der Differenzierbarkeit) an f zu stellen.

Theorem 3.14.1. Die Funktion f :]a,b[→ ℝ sei in ]a,b[ differenzierbar. Angenommen es gibt zwei Punkte x1,x2 ∈]a,b[ mit x1 < x2, so dass f′(x 1) > 0 und f′(x 2) < 0. Dann existiert ein Punkt x0 ∈]x1,x2[ mit der Eigenschaft f′(x 0).

Für stetige Ableitungen f′ ist diese Aussage eine sofortige Konsequenz des Satzes von Bolzano und Cauchy. Wir setzen an dieser Stelle die Stetigkeit von f′ aber nicht voraus und diese folgt auch nicht aus den Voraussetzungen des Satzes. Es bedarf also einer Modifikation des Beweises des Satzes 2.12.20.

Beweis. Aus der Differenzierbarkeit von f in ]a,b[ folgt die Stetigkeit von f in ]a,b[ und damit auch die Stetigkeit von f auf [x1,x2]. Nach dem Satz von Weierstrass existiert damit ein x0 ∈ [x1,x2] mit f(x0) = max x0∈[x1,x2]f(x). Gilt dabei x0 ∈]x1,x2[, so folgt nach dem Satz von Fermat f′(x 0) = 0. Angenommen es gelte x0 = x1 oder x0 = x2. Wir untersuchen zunächst den ersten dieser beiden Fälle. Dann folgt

hφ(f; h,x1) = f(x1 + h) − f(x1) ≤ 0fürx1 + h ∈]x1,x2],

und damit φ(f; h,x1) ≤ 0 für x1 + h ∈]x1,x2[. Letzteres impliziert wegen der Differenzierbarkeit von f im Punkt x1, dass

f′(x 1) = f′(x 1 + 0) = lim h→0+0φ(f; h,x1) ≤ 0,

was der Voraussetzung des Satzes widerspricht. Auf gleichem Wege führt x0 = x2 zum Widerspruch. □

Letztere Aussage impliziert durch Anwendung auf f̃(x) = f(x) − λ sofort folgende Modifikation von Korollar 2.12.24, welche als Satz von Darboux bekannt ist:

Theorem 3.14.2. Die Funktion f :]a,b[→ ℝ sei in ]a,b[ differenzierbar. Angenommen es gibt zwei Punkte x1,x2 ∈]a,b[ mit x1 < x2, so dass f′(x 1) > f′(x 2). Dann existiert für jedes λ ∈ ℝ mit f′(x 2) < λ < f′(x 1) ein Punkt xλ ∈]x1,x2[, so dass λ = f′(x λ).

Corollary 3.14.3. Die Funktion f :]a,b[→ ℝ sei in ]a,b[ differenzierbar. Dann besitzt deren Ableitung f′ keine Unstetigkeiten der ersten Art (Sprungstellen).

Beweis. Angenommen, für einen Punkt x0 ∈]a,b[ existieren die Grenzwerte f′(x 0 − 0) und f′(x 0 + 0), sind aber nicht gleich. O.B.d.A. sei f′(x 0 − 0) > f′(x 0 + 0) (anderenfalls betrachten wir die Funktion − f anstatt von f). Wir wählen

ε = 1 3 f′(x 0 + 0) − f′(x 0 − 0) > 0

und finden nach der Definition einseitiger Grenzwerte ein δ > 0, so dass f′(x) ∈ U ε(f′(x 0 − 0)) für x ∈ Uδ(x0)∩]a,x0[, f′(x) ∈ U ε(f′(x 0 + 0)) für x ∈ Uδ(x0)∩]x0,b[.

Wählt man nun x1 ∈] max{a,x0 − δ},x0[ , x2 ∈]x0,x0 + δ[∩]x0,b[ sowie λ ∈]f′(x 0 + 0) + ε,f′(x 0 − 0) − ε[≠∅, so erhält man f(x1) > f(x2) aber f′(x)≠λ für ein gewisses λ ∈]f′(x 2),f′(x 1)[. Dies steht im Widerspruch zu Satz 3.14.2. □

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