M. Künzer Topologie, SS 09

Lösung 8

Aufgabe 28 (1) Wir haben

\begin{aligned}\{f_{1}^{−1}(V_{1}) : V_{1} ⊆^{off.} Y_{1}\} & = & \{∅, \{1, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \\ \{f_{2}^{−1}(V_{2}) : V_{2} ⊆^{off.} Y_{2}\} & = & \{∅, \{1, 3\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \end{aligned}

Somit haben wir die von der Vereinigung

S := {∅, {1, 3}, {1, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

dieser beiden Mengen erzeugte Topologie zu berechnen. Wir erhalten, in der Notation der Bemerkung von §3.1,

\begin{aligned}S′ & = & \{∅, \{1\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \\ S′′ & = & \{∅, \{1\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} . \end{aligned}

Es ist T_{X, initial, (f_{1},f_{2})} = S′′.

(2) Wir haben

\begin{aligned}\{f_{1}^{−1}(V_{1}) : V_{1} ⊆^{off.} Y_{1}\} & = & \{∅, \{1\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \\ \{f_{2}^{−1}(V_{2}) : V_{2} ⊆^{off.} Y_{2}\} & = & \{∅, \{2, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \end{aligned}

Somit haben wir die von der Vereinigung

S := {∅, {1}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}

dieser beiden Mengen erzeugte Topologie zu berechnen. Wir erhalten, in der Notation der Bemerkung von §3.1,

\begin{aligned}S′ & = & \{∅, \{1\}, \{2\}, \{4\}, \{1, 4\}, \{2, 4\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \\ S′′ & = & \{∅, \{1\}, \{2\}, \{4\}, \{1, 2\}, \{1, 4\}, \{2, 4\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} . \end{aligned}

Es ist T_{X, initial, (f_{1},f_{2})} = S′′. Aufgabe 29 Wir erhalten

T_{X, final, (f_{1},f_{2})}
= {U ⊆ X : f_{1}^{−1}(U) ⊆^{off.} Y_{1}} ∩ {U ⊆ X : f_{2}^{−1}(U) ⊆^{off.} Y_{2}}
= {∅, {1}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

∩ {U ⊆ X : f_{2}^{−1}(U) ⊆^{off.} Y_{2}}

= {∅, {3}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}} .

Aufgabe 30 Wir haben

T_{Y} = {g^{−1}(W) : W ⊆^{off.} Z} ,

und also

T_{X} = {f^{−1}(V) : V ⊆^{off.} Y }
= {f^{−1}(V) : V = g^{−1}(W) für ein W ⊆^{off.} Z}
= {f^{−1}(g^{−1}(W)) : W ⊆^{off.} Z}
= {(g ∘ f)^{−1}(W) : W ⊆^{off.} Z}
= T′_{X} .

Aufgabe 31 Wir haben die stetige Abbildung

R ^{\overline{}^{f}} R^{2}
t  \overline{}f(t) := (\begin{matrix}cos(2πt) \\ sin(2πt) \end{matrix}) ,

wie aus der Analysis bekannt. Wegen (sin x)^{2} + (cos x)^{2} = 1 für x ∈ R existiert f|^{S^{1}}, ist stetig, und dazuhin, wie aus der Analysis bekannt, surjektiv. Sind nun t, t′ ∈ R mit t − t′ ∈ Z gegeben, so ist f(t) = (\begin{matrix}cos(2πt) \\ sin(2πt) \end{matrix}) = (\begin{matrix}cos(2πt′) \\ sin(2πt′) \end{matrix}) = f(t′), da sin x und cos x die Periode 2π besitzen. Somit gibt Beispiel (2) aus §3.3.2 die stetige Funktion

R/(∼) ^{\overline{}^{f̄}} S^{1}
[t]_{∼}  \overline{}f̄([t]_{∼}) = f|^{S^{1}}(t) = f(t) = (\begin{matrix}cos(2πt) \\ sin(2πt) \end{matrix}) ,

von der wir zeigen wollen, daß sie ein Homömorphismus ist. Sie ist zunächst einmal surjektiv, wie sich von f|^{S^{1}} vererbt. Sind t, t′ ∈ R so, daß (\begin{matrix}cos(2πt) \\ sin(2πt) \end{matrix}) = f̄([t]_{∼}) = f̄([t′]_{∼}) = (\begin{matrix}cos(2πt′) \\ sin(2πt′) \end{matrix}), so wird, wie aus der Analysis bekannt, t − t′ ∈ Z, und also [t]_{∼} = [t′]_{∼}. Somit ist f̄ injektiv. Insgesamt ist f̄ nun als bijektiv und stetig erkannt. Bleibt zu zeigen, daß f̄ offen ist. Schreibe R ^{\overline{}^{q}} R/(∼), t \overline{}[t]_{∼}.

\xymatrix{R \ar[r]^{f|^{S^{1}}} \ar[d]_{q} & S^{1} \\ R/(∼) \ar[ur]_{f̄}}

Ist Ū ⊆ R/(∼) offen, so auch q^{−1}(Ū), und zu zeigen ist, daß

f̄(Ū) = (f̄∘ q)(q^{−1}(U)) = f|^{S^{1}}(q^{−1}(U)) ⊆^{off.!} S^{1} .

Somit genügt es zu zeigen, daß f|^{S^{1}} offen ist. Da die Intervalle der Form (a, b) mit a, b ∈ R und a < b eine Basis von R bilden, und da Bild zu nehmen mit Vereinigung vertauscht, genügt es, f((a, b)) ⊆^{off.!} S^{1} zu zeigen. Mit einer Drehung, die umkehrbar linear und damit ein Homöomorphismus ist, vgl. Aufgabe 21.(5), und auch zu einem Homöomorphismus auf S^{1} einschränkt, dürfen wir a = 0 annehmen. Fall b ∈ [0, 1/2]. Dann ist

f((0, b)) = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) : y > 0 und x > cos(2πb)\} ∩ S^{1}

und

\{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) : y > 0 und x > cos(2πb)\} ⊆^{off.} R^{2} .

Fall b ∈ [1/2, 1]. Dann ist

f((0, b)) = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) : y > 0 oder x < cos(2πb)\} ∩ S^{1}

und

\{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) : y > 0 oder x < cos(2πb)\} ⊆^{off.} R^{2} .

Fall b > 1. Dann ist f((0, b)) = S^{1}.

Jedenfalls ist f((0, b)) ⊆^{off.} S^{1}.

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