M. Künzer

Topologie, SS 09

Lösung 7

Aufgabe 24

(1) In den Bezeichnungen der Bemerkung (3) aus §3.1 erhalten wir folgendes.

\begin{aligned}S′ & = & \{\{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \\ S′′ & = & \{∅, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \end{aligned}

Und ⟨S⟩_{X} = S′′ nach loc. cit.

(2) In den Bezeichnungen der Bemerkung (3) aus §3.1 erhalten wir folgendes.

S′ = {{3}, {3, 4}, {3, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
S′′ = {∅, {3}, {3, 4}, {3, 5}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 4, 5},
{3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

Und ⟨S⟩_{X} = S′′ nach loc. cit.

Aufgabe 25

(1) Ist S eine Basis von X, so gibt es für jedes x ∈ U ⊆^{off.} X noch ein V ∈ S mit x ∈ V ⊆ U. Insbesondere trifft dies für U := ⋂_{i=1}^{k} U_{i} zu.

Sei umgekehrt die genannte Eigenschaft für S erfüllt. Wir wollen zeigen, daß S eine Basis von X

ist. Ist x ∈ U ⊆^{off.} X, so haben wir ein V ∈ S mit x ∈ V ⊆ U zu finden.

Da S als Subbasis von X vorausgesetzt ist, ist U eine Vereinigung von endlichen Schnitten von in S gelegenen Mengen. Insbesondere liegt x in einem solchen Schnitt, sagen wir, x ∈ ⋂_{i=1}^{k} U_{i} ⊆ U mit k ⩾ 1 und gewissen U_{i} ∈ S. Nach Voraussetzung gibt es nun ein V ∈ S mit

x ∈ V ⊆ ⋂_{i=1}^{k}U_{i} ⊆ U .

(2) Ist der Schnitt von zwei Elementen von S wieder ein Element von S, so ist mit Induktion auch der Schnitt von k ⩾ 1 Elementen von S wieder ein Element von S. Somit ist die in (1) von S geforderte Eigenschaft in dortigen Bezeichnungen mit der Wahl V = ⋂_{i=1}^{k} U_{i} erfüllt.

(3) Da S ⊆ S′ ⊆ ⟨S′⟩_{X}, ist ⟨S⟩_{X} ⊆ ⟨S′⟩_{X}.

Nun ist aber auch S′ ⊆ S′′ = ⟨S⟩_{X}, und folglich ⟨S′⟩_{X} ⊆ ⟨S⟩_{X}; vgl. Bemerkung (3) in §3.1.

Zusammengenommen ist also ⟨S⟩_{X} = ⟨S′⟩_{X}, und damit auch S′ eine Subbasis von X.

Sind nun U, V ∈ S′, und schreiben wir U = ⋂_{i=1}^{k} U_{i} und V = ⋂_{i=k+1}^{k+k′} U_{i}, wobei k, k′ ∈ Z_{⩾0} und U_{i} ∈ S stets, so wird

U ∩ V = (⋂_{i=1}^{k}U_{i}) ∩ (⋂_{i=k+1}^{k+k′}U_{i}) = ⋂_{i=1}^{k+k′}U_{i} ∈ S′ .

Also ist die in (2) geforderte Eigenschaft erfüllt, und S′ ist in der Tat eine Basis von X.

Aufgabe 26

Nach Definition ist eine Teilmenge B von T_{X, diskret} eine Basis von (X, T_{X, diskret}), falls für alle U ⊆^{off.} X und alle x ∈ U noch ein Element V ∈ B existiert mit x ∈ V ⊆ U.

Sei nun B := {{x} : x ∈ X}. Sicher ist B ⊆ T_{X, diskret} = Pot(X). Sei nun U ⊆ X gegeben – jede Teilmenge von X ist ja nun offen. Sei ferner x ∈ U. Dann gilt {x} ∈ B und x ∈ {x} ⊆ U.

Aufgabe 27

(1) Ist X = ∅, so ist auch f(X) = ∅, und mithin abzählbar. Also ist o.E. X ≠ ∅.

Sei Z_{⩾1} \overline{}X surjektiv. Es ist f|^{f(X)} : X \overline{}f(X) surjektiv. Also ist auch das Kompositum Z_{⩾1} \overline{}f(X) surjektiv. Somit ist f(X) abzählbar.

(2) Sei X abzählbar. Sei Y ⊆ X. Ist Y = ∅, so ist auch Y abzählbar. Somit ist o.E. Y ≠ ∅. Mit (1) genügt es, eine Surjektion von X auf Y anzugeben, um zu zeigen, daß auch Y abzählbar ist. Wähle y_{0} ∈ Y. Sei

X  \overline{}Y
x \overline{}\{ \begin{matrix}x & falls x ∈ Y \\ y_{0} & falls x ∈ X ∖ Y \end{matrix}

Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes y ∈ Y im Bild liegt, als Bild von ebendiesem y.

(3) O.E. sind X, Y ≠ ∅. Da wir Surjektionen Z_{⩾1} \overline{}X, i \overline{}x_{i} und Z_{⩾1} \overline{}Y, j \overline{}y_{j} haben, existiert auch eine Surjektion

[figure: Z_{⩾1}; ×; Z_{⩾1}; X; ×; Y; (i; ,; j); (x_{i}; ,; y_{j})]

Mit (1) genügt es also zu zeigen, daß Z_{⩾1} × Z_{⩾1} abzählbar ist. Dazu kann man die Surjektion

Z_{⩾1}  \overline{}Z_{⩾1} × Z_{⩾1}
1 \overline{}(1 , 1)
2 \overline{}(1 , 2)
3 \overline{}(2 , 1)
4 \overline{}(1 , 3)
5 \overline{}(2 , 2)
6 \overline{}(3 , 1)
7 \overline{}(1 , 4)
8 \overline{}(2 , 3)
9 \overline{}(3 , 2)
10 \overline{}(4 , 1)
⋮ ⋮

verwenden.

(4) Wir haben eine Surjektion Z × (Z ∖ \{0\}) \overline{}Q, (z, w) \overline{}z/w. Also genügt es zu zeigen, daß Z × (Z ∖ {0}) abzählbar ist. Mit (3) genügt es zu zeigen, daß Z und Z ∖ {0} abzählbar sind. Mit (2) genügt es zu zeigen, daß Z abzählbar ist. Dazu kann man die Surjektion

Z_{⩾1}  \overline{}Z
1 \overline{}0
2 \overline{}1
3 \overline{}−1
4 \overline{}2
5 \overline{}−2
6 \overline{}3
7 \overline{}−3
⋮ ⋮

verwenden.

(5) Nach Beispiel (4) aus §3.2 besitzt R^{n} die Basis

B = {B_{ε}(x) : x ∈ Q^{n}, ε ∈ Q_{>0}} .

Wir haben also eine Surjektion Q^{n} × Q_{>0} \overline{}B, (x, ε) \overline{}B_{ε}(x). Somit genügt es zu zeigen, daß Q^{n} × Q_{>0} abzählbar ist.

Mit (3), iteriert angewandt, genügt es, dafür zu zeigen, daß Q und Q_{>0} abzählbar sind. Das aber folgt aus (4) und (2).

Es ist auch nicht schwierig zu zeigen, daß R keine abzählbare Menge ist. Annahme, doch. Dann ist auch das Intervall (0, 1) abzählbar. Sei Z_{⩾1} → (0, 1), i ↦ x_{i} eine Surjektion. Sei y ∈ (0, 1) ein Dezimalbruch, der in der i-ten Nachkommastelle sich von x_{i} unterscheidet, und dies für alle i ∈ Z_{⩾1}. Insbesondere ist dann y ≠ x_{i} für alle i ∈ Z_{⩾1}, im Widerspruch zur Surjektivität unserer Abbildung. (Hierbei seien keine Neunerperioden in einer Dezimalbruchdarstellung zugelassen.)

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/top/top.html