M. Künzer

Topologie, SS 09

Lösung 3

Aufgabe 9 Wir haben zu zeigen, daß X ∖ B̄_{ε}(x) ⊆^{off.} X. Sei y ∈ X ∖ B̄_{ε}(x), d.h. sei d(y, x) > ε.

Sei η := d(y, x) − ε. Wir behaupten, daß B_{η}(y) ⊆^{!} X ∖ B̄_{ε}(x). Sei z ∈ B_{η}(y), i.e. d(z, y) < η. Wir müssen zeigen, daß z ∈ X ∖ B̄_{ε}(x), i.e. daß d(z, x) > ε. In der Tat wird mit (Met 3)

d(x, z) + d(z, y) ⩾ d(x, y) ,

und also

d(z, x) ⩾ d(x, y) − d(z, y) > d(x, y) − η = d(x, y) − (d(y, x) − ε) = ε .

Vgl. auch das Lemma in §1.3.2.

Aufgabe 10 Das Lemma von Cauchy-Schwarz aus §1.3.4 liefert bezüglich des Standardskalarprodukts ⟨x, y⟩ := x^{t}y für x, y ∈ R^{3}, daß

((^{a b c}) (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}))^{2} ⩽ ((^{a b c}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})) ((^{1 1 1}) (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) ,

also daß

(a + b + c)^{2} ⩽ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) ,

was wiederum zu

2ab + 2ac + 2bc ⩽ 2(a^{2} + b^{2} + c^{2})

und also zu

ab + ac + bc ⩽ a^{2} + b^{2} + c^{2}

äquivalent ist. In der ersten, und damit auch in jeder weiteren dieser Ungleichungen gilt nach der Zusatzaussage im Lemma von Cauchy-Schwarz Gleichheit genau dann, wenn ((\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) linear abhängig ist, i.e. wenn a = b = c.

Aufgabe 11

(1) Beachte, daß β^{−1}∥x∥′ ⩽ ∥x∥ ⩽ α^{−1}∥x∥′ für x ∈ V. Die Situation ist also symmetrisch in ∥ − ∥ und ∥ − ∥′, so daß es genügt, T′ ⊆^{!} T zu zeigen. Sei U ⊆ V eine bezüglich T′ offene Teilmenge, i.e. U ∈ T′. Wir haben zu zeigen, daß sie bezüglich T offen ist, i.e. U ∈^{!} T. Sei also x ∈ U. Wir müssen ein η ∈ R_{>0} finden mit B_{η}^{(V,d)}(x) ⊆^{!} U. Da U ⊆ V bezüglich T′ offen ist, gibt es ein ε ∈ R_{>0} mit B_{ε}^{(V,d′)}(x) ⊆ U. Setze η := ε/β ∈ R_{>0} . Es wird

B_{η}^{(V,d)}(x) ⊆ B_{ε}^{(V,d′)}(x) ,

da für y ∈ B_{η}^{(V,d)}(x), also für d(y, x) < η, in der Tat

d′(y, x) = ∥y − x∥′ ⩽ β∥y − x∥ = β · d(y, x) < β · η = ε ,

und somit y ∈ B_{ε}^{(V,d′)}(x) ist. Also ist insgesamt

B_{η}^{(V,d)}(x) ⊆ B_{ε}^{(V,d′)}(x) ⊆ U ,

wie verlangt.

(2) Zum einen ist wegen |x_{j}| = \sqrt{x_{j}^{2}} ⩽ \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} für 1 ⩽ j ⩽ n auch

∥x∥_{∞} = max\{|x_{i}| : 1 ⩽ i ⩽ n\} ⩽ \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} = ∥x∥_{2} .

für x = (x_{i})_{i} ∈ R^{n}. Zum anderen ist

∥x∥_{2} = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} ⩽ \sqrt{n · max\{|x_{i}| : 1 ⩽ i ⩽ n\}^{2}} = \sqrt{n} · ∥x∥_{∞}

für x ∈ R^{n}. Also ist insgesamt, wie in (1) verlangt,

1 · ∥x∥_{∞} ⩽ ∥x∥_{2} ⩽ \sqrt{n} · ∥x∥_{∞}

für x ∈ R^{n}.

Aufgabe 12

(1) Es ist U = U ∩ Y mit U ⊆^{off.} X. Nach Definition der Spurtopologie ist also U ⊆^{off.} Y.

(2) Es ist A = A ∩ Y mit A ⊆^{abg.} X. Nach Aufgabe 5.(2) ist also A ⊆^{abg.} Y.

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