M. Künzer 21.07.09

Topologie, SS 09

Lösung zur Klausur

Aufgabe 1

Es gibt die 4 Abbildungen (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}) von Y nach Y.

Darunter sind (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) und (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}) als konstante Abbildungen stetig. Die Abbildung (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) ist als Identität stetig.

Die Abbildung (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ist hingegen nicht stetig, da das Urbild der offenen Teilmenge \{1\} unter dieser Abbildung gleich {2} ist, und somit keine offene Teilmenge.

Somit ist

C(X, Y) = \{ (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \} .

Aufgabe 2

Es erzeugt

{f_{1}^{−1}(V_{1}) : V_{1} ⊆^{off.} Y_{1}} ∪ {f_{2}^{−1}(V_{2}) : V_{2} ⊆^{off.} Y_{2}} = {∅, {1, 3}, {1, 4}, {1, 2, 3, 4}}

die Topologie

T_{X, initial,(f_{1},f_{2})} = {∅, {1}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} .

Aufgabe 3

(1) Eine Abbildung in ein Produkt ist genau dann stetig, wenn es die beiden Komponenten sind. Es genügt also, R \overline{}R, t \overline{}t^{2} und R \overline{}R, t \overline{}2t als stetig nachzuweisen. Beides sind aber Polynome, und als solche stetig.

(2) Es ist das Intervall [0, 1] kompakt. Ferner ist f stetig. Da das Bild kompakter Teilmengen unter stetigen Abbildungen wiederum kompakt ist, folgt, daß f([0, 1]) kompakt ist.

(3) Kompakte Teilmengen von Hausdorffräumen sind abgeschlossen. Nun ist R × R als Produkt zweier Hausdorffräume wieder hausdorffsch. (Oder aber, R × R ist homöomorph zum metrischen Raum R^{2}, der als solcher hausdorffsch ist, und folglich ist auch R × R hausdorffsch.) Also ist die kompakte Teilmenge f([0, 1]) in R × R abgeschlossen.

Aufgabe 4

Wir haben die Surjektion

[figure: {(a, b) ∈ Z × Q : a < b}; M; (a, b); [a, b]]

Somit genügt es zu zeigen, daß {(a, b) ∈ Z × Q : a < b} abzählbar ist. Da dies eine Teilmenge von Z × Q ist, genügt es zu zeigen, daß Z × Q abzählbar ist. Das Produkt zweier abzählbarer Mengen ist aber abzählbar. Und Z und Q sind beide abzählbar. Dies zeigt die Behauptung.

Aufgabe 5

(1) Nein, X ist nicht kompakt. Die kompakten Teilmengen von R^{2} sind gerade die abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen.

Aber X ist keine abgeschlossene Teilmenge. Denn z.B. ist y = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) ∈ R^{2} ∖ X, aber B_{ε}^{(2)}(y) ∩ X ≠ ∅ für alle ε ∈ R_{>0} ; hierfür genügt es, ε mit ε ∈ (0, 1] zu betrachten; für solche ε liegt in der Tat z.B. (\begin{matrix}1−ε/2 \\ 0 \end{matrix}) in diesem Schnitt. Also ist y ∈ X̄, aber y ∉ X. Folglich ist X ⊊ X̄, d.h. X ist keine abgeschlossene Teilmenge von R^{2}.

Alternativ kann man auch wie folgt argumentieren. Es ist B_{1}^{(∞)}(0) ⊆ X ⊆ B̄_{1}^{(∞)}(0) = \overline{B_{1}^{(∞)}(0)}, und also X̄ = B̄_{1}^{(∞)}(0). Da aber z.B. (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) ∈ B̄_{1}^{(∞)}(0) ∖ X liegt, muß X ⊊ X̄ sein. Mithin kann X keine abgeschlossene Teilmenge sein. Vgl. Aufgabe 14.(4).

(2) Ja, X ist zusammenhängend. Dazu genügt es zu zeigen, daß X wegzusammenhängend ist.

Seien (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) , (x̃_{1} ; x̃_{2}) ∈ X. Wir wollen eine stetige Abbildung γ von [0, 1] nach X finden, die

γ(0) = (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) und γ(1) = (x̃_{1} ; x̃_{2}) hat. Sei hierzu γ(t) := (\begin{matrix}(1−t)x_{1}+tx̃_{1} \\ (1−t)x_{2}+tx̃_{2} \end{matrix}) gesetzt für t ∈ [0, 1].

In der Tat ist |(1 − t)x_{1} + tx̃_{1}| ⩽ (1 − t)|x_{1}| + t|x̃_{1}| < (1 − t) + t = 1, wobei der vorletzte Schritt zutrifft, da ((1 − t) > 0 oder t > 0) und |x_{1}|, |x̃_{1}| < 1. Ferner ist |(1 − t)x_{2} + tx̃_{2}| ⩽ (1 − t)|x_{2}| + t|x̃_{2}| ⩽ (1 − t) + t = 1.

Schließlich ist die Abbildung stetig, da ihre Komponenten (lineare) Polynome in t sind, und da R^{2} ≃ R × R, so daß aus der Stetigkeit der Komponenten auf die Stetigkeit der Abbildung geschlossen werden kann.

Alternativ kann man argumentieren, daß wir auf diese Weise gezeigt haben, daß X konvex ist, und daß konvexe Teilmengen von R^{2} bekanntermaßen wegzusammenhängend sind.

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