M. Künzer Abgabe Mittwoch, 01.07.09

Topologie, SS 09

Blatt 9

Aufgabe 32 (6 Punkte) Sei (X, T_{X}) ein topologischer Raum. Sei Y ⊆ X.

(1) Ist S eine Subbasis von X, so ist {U ∩ Y : U ∈ S} eine Subbasis von Y.

(2) Ist B eine Basis von X, so ist {U ∩ Y : U ∈ B} eine Basis von Y. Aufgabe 33 (4 Punkte) Sei n ⩾ 0. Zeige, daß die Bijektion

[figure: R^{n}; φ; R^{×n}; ( ⋮_{x_{n}}^{x_{1}}); (x_{1}, …, x_{n})]

ein Homöomorphismus ist. Aufgabe 34 (10 Punkte)

(1) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Seien x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ∈ X. Zeige, daß −d(x_{1}, x_{2}) + d(x_{2}, x_{3}) − d(x_{3}, x_{4}) ⩽ d(x_{1}, x_{4}) ⩽ d(x_{1}, x_{2}) + d(x_{2}, x_{3}) + d(x_{3}, x_{4}) .

(2) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige, daß d : X × X \overline{}R_{⩾0} stetig ist. (Hinweis: (1).)

(3) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Sei ∅ ≠ Y ⊆ X. Sei d_{Y} (x) := inf_{y∈Y} d(x, y) für x ∈ X. Zeige, daß d_{Y} : X \overline{}R_{⩾0} , x \overline{}d_{Y} (x) stetig ist. (Hinweis: Zeige d_{Y} (x) − d(ξ, x) ⩽ d_{Y} (ξ) ⩽ d_{Y} (x) + d(ξ, x).)

(4) Sei (V, ⟨−, =⟩) ein euklidscher Raum. Zeige, daß ⟨−, =⟩ : V × V \overline{}R, (x, y) \overline{}⟨x, y⟩ stetig ist.

(5) Zeige, daß R × R ^{\overline{}^{(+)}} R, (x, y) \overline{}x + y und R × R ^{\overline{}^{(·)}} R, (x, y) \overline{}x · y stetige Abbildungen sind. Folgere hiermit erneut die Aussage von Aufgabe 20. (Hinweis: X \overline{}R × R ^{\overline{}^{(+)}} R.)

Aufgabe 35 (6 Punkte)

(1) Seien X, Y, Z topologische Räume. Zeige, daß (X × Y) × Z ≃ X × Y × Z und X × Y ≃ Y × X.

(2) Sei k ⩾ 1. Sei X_{i} ein topologischer Raum und sei X′_{i} ⊆ X_{i} für 1 ⩽ i ⩽ k. Zeige, daß auf ∏_{i=1}^{k} X′_{i} die Produkttopologie der Spurtopologien mit der Spurtopologie bzgl. ∏_{i=1}^{k} X′_{i} ⊆ ∏_{i=1}^{k} X_{i} übereinstimmt.

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