M. Künzer Abgabe Mittwoch, 24.06.09

Topologie, SS 09

Blatt 8

Aufgabe 28 (12 Punkte) Sei X = {1, 2, 3, 4}. Sei (Y_{1}, T_{Y_{1}}) = ({1, 2, 3} , {∅, {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}). Sei (Y_{2}, T_{Y_{2}}) = ({1, 2} , {∅, {1}, {1, 2}}). Cf. Aufgabe 17. Seien X ^{\overline{}^{f_{1}}} Y_{1} und X ^{\overline{}^{f_{2}}} Y_{2} gegeben. Bestimme die diesbezüglich initiale Topologie T_{X, initial, (f_{1},f_{2})} auf X.

(1) Seien f_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}) und f_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{matrix}).

(2) Seien f_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \end{matrix}) und f_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \end{matrix}).

Aufgabe 29 (5 Punkte) Seien X, (Y_{1}, T_{Y_{1}}) und (Y_{2}, T_{Y_{2}}) wie in Aufgabe 28. Seien f_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) : Y_{1} \overline{}X und f_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) : Y_{2} \overline{}X. Bestimme die diesbezüglich finale Topologie T_{X, final, (f_{1},f_{2})} auf X.

Aufgabe 30 (3 Punkte) Seien X und Y Mengen. Sei (Z, T_{Z}) ein topologischer Raum. Seien X ^{\overline{}^{f}} Y ^{\overline{}^{g}} Z Abbildungen. Sei T_{Y} die initiale Topologie auf Y bezüglich g und (Z, T_{Z}). Sei T_{X} die initiale Topologie auf X bezüglich f und (Y, T_{Y}). Sei T′_{X} die initiale Topologie auf X bezüglich g ∘ f und (Z, T_{Z}). Zeige, daß T_{X} = T′_{X} .

Aufgabe 31 (5 Punkte) Sei auf R die Äquivalenzrelation (∼) dadurch erklärt, daß x ∼ y falls x − y ∈ Z, wobei x, y ∈ R. Dies liefert den topologischen Raum R/(∼), ausgestattet mit der finalen Topologie bezüglich R \overline{}R/(∼), x \overline{}[x]_{∼}. Sei S^{1} := \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} = 1\} die 1-Sphäre, eine Kreislinie, ausgestattet mit der Spurtopologie bzgl. S^{1} ⊆ R^{2}. Zeige, daß R/(∼) zu S^{1} homöomorph ist. Hierzu dürfen aus der Analysis bekannte Eigenschaften der Funktionen sin x und cos x ohne Beweis verwandt werden.

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