M. Künzer Abgabe Mittwoch, 17.06.09

Topologie, SS 09

Blatt 7

Aufgabe 24 (6 Punkte) Sei X eine Menge. Sei S ⊆ Pot(X). Bestimme ⟨S⟩_{X}.

(1) X = {1, 2, 3, 4}, S = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}}.

(2) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {3, 4, 5, 6}}.

Aufgabe 25 (3+2+2 Punkte) Zeige. Sei X ein topologischer Raum. Sei S eine Subbasis von X.

(1) Es ist S genau dann eine Basis von X, wenn für k ⩾ 0, U_{i} ∈ S für 1 ⩽ i ⩽ k und x ∈ ⋂_{i=1}^{k} U_{i} ein V ∈ S existiert mit x ∈ V ⊆ ⋂_{i=1}^{k} U_{i}.

(2) Ist U ∩ V ∈ S für alle U, V ∈ S, so ist S eine Basis. (Hinweis: Teil (1).)

(3) Ist S eine Subbasis von X, so ist S′ := {⋂_{i=1}^{k} U_{i} : k ∈ Z_{⩾0} , U_{i} ∈ S für 1 ⩽ i ⩽ k} eine Basis von X. (Hinweis: Teil (2).)

Aufgabe 26 (3 Punkte) Sei X eine Menge. Zeige, daß {{x} : x ∈ X} eine Basis von T_{X, diskret} ist. Aufgabe 27 (10 Punkte) (Abzählbarkeit) Eine Menge X heiße abzählbar, wenn X = ∅ ist oder eine Surjektion Z_{⩾1} \overline{}X existiert. Zeige.

(1) Ist X ^{\overline{}^{f}} Y eine Abbildung, und ist X abzählbar, so auch f(X).

(2) Eine Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar.

(3) Für abzählbare Mengen X und Y ist auch X × Y abzählbar.

(4) Es ist Q abzählbar.

(5) Sei n ⩾ 0. Es besitzt R^{n} eine abzählbare Basis. (Hinweis: Beispiel (4) aus §3.2.)

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