M. Künzer Abgabe Mittwoch, 10.06.09

Topologie, SS 09

Blatt 6

Aufgabe 21 (18 Punkte) Seien X, Y topologische Räume. Sei X ^{\overline{}^{f}} Y eine Abbildung. Entscheide, ob f stetig ist.

(1) Sei X = Y = R. Sei f(x) := |x| für x ∈ R. (Hinweis: Satz 1b.)

(2) Sei X = Y = R. Sei f(x) := sin(1/x) für x ∈ R ∖ {0}. Sei f(0) := 0.

(3) Sei X = R_{>0} . Sei Y = R. Sei f(x) := 1/x für x ∈ R_{>0} .

(4) Sei X = Y = R. Sei n ⩾ 0. Seien a_{0}, …, a_{n} ∈ R. Sei f(x) := a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0}x^{0} für x ∈ R. (Hinweis: Aufgabe 20.)

(5) Sei n ⩾ 0, sei X = R^{n}, normiert mit ∥−∥_{2} . Sei Y ein normierter Raum. Sei X ^{\overline{}^{f}} Y eine lineare Abbildung. (Hinweis: Bilder der Standardbasisvektoren betrachten.)

(6) Sei X = (X, ∥ − ∥) ein normierter Raum. Sei Y = R. Sei f(x) := ∥x∥ für x ∈ X.

Aufgabe 22 (6 Punkte) Seien X und Y topologische Räume. Sei X ^{\overline{}^{f}} Y eine stetige Abbildung.

(1) Sei Y′ ⊆ Y. Zeige, daß \overline{f^{−1}(Y′)} ⊆ f^{−1}(Ȳ′). Gilt stets die Gleichheit?

(2) Sei X′ ⊆ X. Zeige, daß genau dann ∂X′ = ∅ ist, wenn X′ eine offene und abgeschlossene Teilmenge von X ist.

(3) Sei X′ ⊆ X. Zeige, daß ∂X̄′ ⊆ ∂X′. Gilt stets die Gleichheit?

Aufgabe 23 (4 Punkte) Zeige oder widerlege.

(1) Seien X, Y topologische Räume. Sei X ^{\overline{}^{f}} Y eine surjektive offene Abbildung. Sei X′ ⊆ X. Schreibe Y′ := f(X′) ⊆ Y. Dann ist X′ ^{\overline{}^{f|_{X′}^{Y′}}} Y′ offen (jeweils bezüglich der Spurtopologie).

(2) Es ist das Intervall (0, 1) homöomorph zu R_{>1} . (Hinweis: Aufgabe 21.(3).)

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