M. Künzer Abgabe Mittwoch, 27.05.09

Topologie, SS 09

Blatt 5

Aufgabe 17 (2+4+4 Punkte) Sei X = (X, T_{X}) := ({1, 2, 3}, {∅, {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}). Sei Y = (Y, T_{Y}) := ({1, 2}, {∅, {1}, {1, 2}}) der Sierpinski-Raum; cf. Aufgabe 2.

(1) Zeige, daß (X, T_{X}) ein topologischer Raum ist.

(2) Bestimme alle stetigen Abbildungen von X nach Y.

(3) Bestimme alle Homöomorphismen von X nach X. Aufgabe 18 (8 Punkte) Zeige oder widerlege. Seien X und Y topologische Räume. Sei X ^{\overline{}^{f}} Y eine Abbildung.

(1) Es ist f stetig genau dann, wenn f^{−1}(B) ⊆^{abg.} X für alle B ⊆^{abg.} Y.

(2) Es ist f stetig genau dann, wenn f(\overline{X′}) ⊆ \overline{f(X′)} für alle X′ ⊆ X.

(3) Falls f stetig ist, dann ist f(X^{′∘}) ⊇ f(X′)^{∘} für alle X′ ⊆ X.

(4) Falls f stetig ist, dann ist f(X^{′∘}) ⊆ f(X′)^{∘} für alle X′ ⊆ X. Aufgabe 19 (6 Punkte) Zeige. Seien X und Y topologische Räume. Sei X ^{\overline{}^{f}} Y eine Abbildung.

(1) Sei f ein Homöomorphismus. Sei U ⊆ X.

Es ist U ⊆^{off.} X genau dann, wenn f(U) ⊆^{off.} Y.

(2) Es ist f genau dann ein Homöomorphismus, wenn f stetig ist und es eine stetige Abbildung X ^{\overline{}^{g}} Y gibt mit g ∘ f = id_{X} und f ∘ g = id_{Y} .

Aufgabe 20 (4 Punkte) Zeige. Sei X ein topologischer Raum. Seien f, g ∈ C(X).

(1) Sei (f + g)(x) := f(x) + g(x) für x ∈ X. Zeige, daß f + g ∈ C(X).

(2) Sei (f · g)(x) := f(x) · g(x) für x ∈ X. Zeige, daß f · g ∈ C(X).

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