M. Künzer Abgabe Mittwoch, 20.05.09

Topologie, SS 09

Blatt 4

Aufgabe 13 (6 Punkte) Sei n ⩾ 0.

(1) Sei ∥x∥_{1} := ∑_{i=1}^{n} |x_{i}| für x ∈ R^{n}. Zeige, daß (R^{n}, ∥ − ∥_{1}) ein normierter Raum ist.

(2) Sei d^{(1)}(x, y) := ∥x − y∥_{1} für x, y ∈ R^{n}. Sei B_{ε}^{(1)}(x) := {y ∈ R^{n} : d^{(1)}(y, x) < ε} für x ∈ R^{n} und ε ∈ R_{>0} . Skizziere B_{1}^{(1)}((\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix})), wobei n = 2.

(3) Zeige, daß T^{(R^{n},d^{(1)})} = T^{(R^{n},d^{(2)})} . (Hinweis: Aufgabe 11.) Aufgabe 14 (12 Punkte)

(1) Bestimme \overline{\{2^{−n} : n ∈ Z_{⩾0}\}} ⊆ R. Begründung!

(2) Bestimme \overline{\{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) : x ∈ [−1, +1], y ∈ (−1, +1)\}} ⊆ R^{2}. Begründung!

(3) Bestimme Y^{∘} für alle Y ⊆ {1, 2} bezüglich der Sierpinski-Topologie {∅, {1}, {1, 2}}; cf. Aufgabe 2. Begründung!

(4) Sei (V, ∥−∥) ein normierter Raum. Schreibe d := d^{(V,∥−∥)}. Es ist also d(x, y) = ∥x−y∥ für x, y ∈ V. Sei x ∈ V. Sei ε ∈ R_{>0} . Zeige, daß (bzgl. T^{(V,d)})

\overline{B_{ε}(x)} = B̄_{ε}(x) =^{def.} \{y ∈ V : d(y, x) ⩽ ε\} ;

cf. Aufgabe 9. Aufgabe 15 (6 Punkte) Zeige oder widerlege. Sei X ein topologischer Raum. Seien Y, Z ⊆ X.

(1) Es ist \overline{X ∖ Y} = X ∖ Y^{∘}.

(2) Es ist \overline{Y ∩ Z} = \overline{Y} ∩ \overline{Z}.

(3) Es ist \overline{Y ∪ Z} = \overline{Y} ∪ \overline{Z}. Aufgabe 16 (3 Punkte) Sei (V, ⟨−, =⟩) ein euklidscher Raum. Seien x, y ∈ V ∖ {0}. Schreibe ∥ − ∥ := ∥ − ∥_{⟨−,=⟩}, i.e. ∥x∥ = ⟨x, x⟩^{1/2}. Zeige, daß ∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥ genau dann zutrifft, wenn y = λx für ein λ ∈ R_{>0} .

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/top/top.html