M. Künzer Abgabe Mittwoch, 13.05.09

Topologie, SS 09

Blatt 3

Aufgabe 9 (5 Punkte) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Sei B̄_{ε}(x) := {y ∈ X : d(y, x) ⩽ ε} für x ∈ X und ε ∈ R_{>0} . Zeige, daß (bzgl. der Topologie T^{(X,d)})

B̄_{ε}(x) ⊆^{abg.} X .

Aufgabe 10 (4 Punkte) Seien a, b, c ∈ R. Zeige mittels Cauchy-Schwarz für (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) und (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), daß

ab + ac + bc ⩽ a^{2} + b^{2} + c^{2} ,

und daß Gleichheit genau dann gilt, wenn a = b = c.

Aufgabe 11 (6+4 Punkte)

(1) Sei V ein R-Vektorraum, der den beiden normierten Räumen (V, ∥−∥) und (V, ∥−∥′) zugrundeliege. Gebe es α, β ∈ R_{>0} mit α∥x∥ ⩽ ∥x∥′ ⩽ β∥x∥ für alle x ∈ V. Seien d := d^{(V,∥−∥)} und d′ := d^{(V,∥−∥′)} die zugehörigen Metriken auf V. Seien T := T^{(V,d)} und T′ := T^{(V,d′)} die zugehörigen Topologien. Zeige, daß T = T′ .

(2) Sei n ⩾ 1. Zeige mittels (1) erneut, daß T^{(R^{n}, d^{(2)})} = T^{(R^{n}, d^{(∞)})}; cf. §1.3.5.4, §1.3.5.5.

Aufgabe 12 (4 Punkte) Sei (X, T) ein topologischer Raum. Sei Y ⊆ X. Zeige.

(1) Sei U ⊆ Y mit U ⊆^{off.} X. Es ist U ⊆^{off.} Y.

(2) Sei A ⊆ Y mit A ⊆^{abg.} X. Es ist A ⊆^{abg.} Y.

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