M. Künzer Abgabe Mittwoch, 06.05.09

Topologie, SS 09

Blatt 2

Aufgabe 5 (3+4 Punkte) Sei (X, T) ein topologischer Raum.

(1) Sei I eine Indexmenge. Seien A_{i} ⊆^{abg.} X für i ∈ I. Zeige, daß ⋂_{i∈I} A_{i} ⊆^{abg.} X.

(2) Sei Y ⊆ X. Zeige, daß Z ⊆ Y genau dann eine (bzgl. Spurtopologie) abgeschlossene Teilmenge ist, wenn es eine abgeschlossene Teilmenge Z′ ⊆ X mit Z = Z′ ∩ Y gibt.

Aufgabe 6 (6 Punkte) Zeige oder widerlege. Sei (X, T) ein topologischer Raum. Sei Y ⊆ X.

(1) Ist U eine offene Teilmenge von Y, so ist U auch eine offene Teilmenge von X.

(2) Ist U eine offene Teilmenge von Y, und ist Y eine offene Teilmenge von X, so ist U auch eine offene Teilmenge von X.

(3) Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von Y, und ist Y eine abgeschlossene Teilmenge von X, so ist A auch eine abgeschlossene Teilmenge von X.

Aufgabe 7 (3+4 Punkte) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Sei Y ⊆ X eine Teilmenge.

(1) Zeige, daß (Y, d|_{Y ×Y}) ein metrischer Raum ist.

(2) Zeige, daß die von der Metrik d|_{Y ×Y} auf Y induzierte Topologie T^{(Y, d|_{Y ×Y} )} gleich der Spurtopologie ist.

Aufgabe 8 (3 Punkte) Sei X := {1, 2}. Sei eine Prämetrik d auf X definiert durch

d(1, 1) := 1 , d(2, 2) := 1 , d(1, 2) := d(2, 1) := 0 .

Zeige, daß T^{(X,d)} = T_{X, verklumpt}. Zeige, daß B_{1}(1) keine offene Teilmenge von X ist.

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