M. Künzer Abgabe Mittwoch, 22.07.09

Topologie, SS 09

Blatt 12

Aufgabe 44 (4 Punkte) Zeige oder widerlege. Sei X ein endlicher topologischer Raum.

(1) Es ist X zusammenhängend.

(2) Es ist X kompakt. Aufgabe 45 (2+3+3 Punkte)

Sei X := \{(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ∈ R^{2} : 0 ⩽ x_{1} ⩽ 1 und |x_{2}| ⩽ x_{1}\}.

(1) Skizziere X.

(2) Zeige, daß X zusammenhängend ist.

(3) Zeige, daß X kompakt ist. Aufgabe 46 (10 Punkte) Sei X ein kompakter topologischer Raum. Wir erinnern daran, daß C(X) ein normierter Raum ist; cf. Bemerkung in §5.2.

(1) Seien u, v ∈ C(X). Zeige, daß ∥u · v∥ ⩽ ∥u∥ · ∥v∥.

(2) Sei (V, ∥−∥) ein normierter Raum. Zeige, daß die Abbildung V ×V ^{\overline{}^{(+)}} V, (x, y) \overline{}x+y stetig ist. Folgere, daß die Abbildung C(X) × C(X) \overline{}C(X), (f, g) \overline{}f + g stetig ist.

(3) Zeige, daß die Abbildung C(X) × C(X) ^{\overline{}^{(·)}} C(X), (f, g) \overline{}f · g stetig ist.

(4) Sei λ ∈ R. Sei (V, ∥−∥) ein normierter Raum. Zeige, daß die Abbildung V ^{\overline{}^{λ(−)}} V, x \overline{}λx stetig ist. Folgere, daß die Abbildung C(X) \overline{}C(X), f \overline{}λf stetig ist.

(5) Sei (f_{n})_{n} eine Folge in C(X), die gegen f ∈ C(X) konvergiert. Sei (g_{n})_{n} eine Folge in C(X), die gegen g ∈ C(X) konvergiert. Sei λ ∈ R. Zeige, daß (f_{n} + g_{n})_{n} gegen f + g konvergiert, daß (f_{n} · g_{n})_{n} gegen f · g konvergiert und daß (λf_{n})_{n} gegen λf konvergiert.

Aufgabe 47 (6 Punkte) Seien X und Y topologische Räume. Zeige.

(1) Sind X und Y zusammenhängend, so auch X × Y. (Hinweis: i_{y} und j_{x} aus §3.4.)

(2) Sind X und Y wegzusammenhängend, so auch X × Y.

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