M. Künzer Abgabe Mittwoch, 15.07.09

Topologie, SS 09

Blatt 11

Aufgabe 41 (12 Punkte)

(1) Sei X ein topologischer Raum. Sei Y ⊆^{abg.} X. Sei (y_{n})_{n} eine Folge in Y. Sei x ∈ X ein Häufungspunkt der Folge (y_{n})_{n}, gesehen als Folge in X. Zeige, daß x ∈ Y.

(2) Sei X ein metrischer Raum. Sei Y ⊆ X. Sei x ∈ X. Es ist x ∈ Ȳ genau dann, wenn es eine Folge (y_{n})_{n} in Y gibt, die, gesehen als Folge in X, gegen x konvergiert.

(3) Sei X ein folgenkompakter topologischer Raum. Sei f ∈ C(X). Zeige, daß es ein x̂ ∈ X gibt mit f(x) ⩽ f(x̂) für alle x ∈ X. In anderen Worten, zeige, daß f auf X ein Maximum annimmt.

(4) Sei X ein metrischer Raum. Sei K ⊆ U ⊆^{off.} X, und sei K folgenkompakt. Zeige, daß es ein ε ∈ R_{>0} so gibt, daß d(k, x) ⩾ ε für alle k ∈ K und alle x ∈ X ∖ U.

Aufgabe 42 (6 Punkte) Zeige oder widerlege.

(1) Sei X ein topologischer Raum. Sei x ∈ X. Sei (x_{n})_{n} die konstante Folge in X mit x_{n} = x für alle n ∈ Z_{⩾1} . Dann ist x ein Konvergenzpunkt von (x_{n})_{n}.

(2) Sei X ein topologischer Raum. Sei (x_{n})_{n} eine Folge in X mit Konvergenzpunkten x und x′. Dann ist x = x′.

(3) Sei X ein metrischer Raum. Sei (x_{n})_{n} eine Folge in X, für welche für alle ε ∈ R_{>0} ein m ∈ Z_{⩾1} existiert mit d(x_{n}, x_{n′}) < ε für n, n′ ∈ Z_{⩾m}. Dann konvergiert (x_{n})_{n}.

Aufgabe 43 (6 Punkte)

(1) Seien X und Y topologische Räume. Sei (x_{n})_{n} eine Folge in X mit Konvergenzpunkt x ∈ X. Sei (y_{n})_{n} eine Folge in Y mit Konvergenzpunkt y ∈ Y. Zeige, daß die Folge ((x_{n}, y_{n}))_{n} in X × Y den Konvergenzpunkt (x, y) hat.

(2) Sei X ein folgenkompakter topologischer Raum. Sei Y ein metrischer Raum. Sei Z ein metrischer Raum. Sei f : X × Y \overline{}Z, (x, y) \overline{}f(x, y) eine stetige Abbildung. Sei y_{0} ∈ Y.

Zeige, daß es für alle ε ∈ R_{>0} ein δ ∈ R_{>0} gibt mit |f(x, y) − f(x, y_{0})| < ε für alle y ∈ B_{δ}(y_{0}) und alle x ∈ X.

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