M. Künzer Abgabe Mittwoch, 08.07.09

Topologie, SS 09

Blatt 10

Aufgabe 36 (9 Punkte) Seien X und Y Hausdorffräume.

(1) Sei x ∈ X. Zeige, daß {x} ⊆^{abg.} X.

(2) Zeige, daß X × Y hausdorffsch ist.

(3) Sei X endlich. Zeige, daß X die diskrete Topologie trägt.

Aufgabe 37 (3+1 Punkte) Seien X und Y topologische Räume. Sei X \overline{}^{f}_{∼} Y ein Homöomorphismus.

(1) Zeige, daß X genau dann hausdorffsch ist, wenn Y hausdorffsch ist.

(2) Zeige, daß X genau dann kompakt ist, wenn Y kompakt ist. (Hinweis: Lemma (3) aus §4.2.1.)

Aufgabe 38 (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum. Sei k ⩾ 1. Sei Y_{j} ⊆ X kompakt für 1 ⩽ j ⩽ k. Sei X = ⋃_{j=1}^{k} Y_{j}. Zeige, daß X kompakt ist.

Aufgabe 39 (4 Punkte) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Sei D ⊆ X eine abzählbare dichte Teilmenge. Zeige, daß X eine abzählbare Basis besitzt. (Hinweis: Vgl. Beispiel (4) aus §3.2 und Aufgabe 27.(5).)

Aufgabe 40 (4 Punkte) Seien X und Y topologische Räume. Sei A ⊆ X und B ⊆ Y. Zeige, daß (A×B)^{∘} = A^{∘}×B^{∘}.

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