M. Künzer Abgabe Mittwoch, 29.04.09

Topologie, SS 09

Blatt 1

Aufgabe 1 (6 Punkte)

(1) Bestimme Pot({1, 2, 3}).

(2) Sei X eine Menge. Zeige, daß die Abbildung

[figure: Abb(X, {0, 1}); Pot(X); f; f^{−1}({1})]

eine Bijektion ist.

(3) Sei X eine (nicht notwendig endliche) Menge. Zeige, daß es keine Surjektion von X nach Pot(X) gibt. (Hinweis: Angenommen, es sei X ^{\overline{}^{f}} Pot(X) surjektiv. Betrachte Y = {x ∈ X : x ∉ f(x)} ⊆ X. Sei y ∈ X mit f(y) = Y. Ist y ∈ Y? Ist y ∉ Y?)

Aufgabe 2 (6 Punkte) (Sierpinski-Raum) Bestimme eine weder verklumpte noch diskrete Topologie auf der Menge {1, 2}. Aufgabe 3 (6 Punkte) Zeige (durch Beweis) oder widerlege (durch Gegenbeispiel). Sei X eine Menge.

(1) Sei T := {U ⊆ X : U ist endlich} ∪ {X}. Es ist (X, T) ein topologischer Raum.

(2) Sei T := {U ⊆ X : X ∖ U ist endlich}∪{∅}. Es ist (X, T) ein topologischer Raum. Aufgabe 4 (10 Punkte) Zeige oder widerlege. Sei X ein topologischer Raum. Sei I eine Indexmenge. Sei k ∈ Z_{⩾1} .

(1) Ist Y ⊆ X, so ist Y offen oder abgeschlossen.

(2) Ist U_{i} ⊆^{off.} X für alle i ∈ I, so ist ⋂_{i∈I} U_{i} ⊆^{off.} X.

(3) Ist U_{i} ⊆^{off.} X für alle i ∈ {1, …, k}, so ist ⋂_{i=1}^{k} U_{i} ⊆^{off.} X.

(4) Ist A_{i} ⊆^{abg.} X für alle i ∈ I, so ist ⋃_{i∈I} A_{i} ⊆^{abg.} X.

(5) Ist A_{i} ⊆^{abg.} X für alle i ∈ {1, …, k}, so ist ⋃_{i=1}^{k} A_{i} ⊆^{abg.} X.

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