Vortrag 5 — Endliche abelsche Gruppen

Seien A_{1}, …, A_{n} abelsche Gruppen (additiv geschrieben). Definiere auf dem kartesischen Produkt A_{1} × ⋯ × A_{n} mittels eintragsweiser Addition eine abelsche Gruppenstruktur. Schreibe das Resultat A_{1} ⊕ ⋯ ⊕ A_{n}, genannt direkte Summe.

Sei

\xymatrix{A \ar[r]^{f} \ar[d]_{s} & B \ar[d]^{t} \\ A′ \ar[r]^{f′} & B′}

ein kommutatives Viereck abelscher Gruppen und Gruppenmorphismen, d.h. sei f′ ∘ s = t ∘ f.

Lemma 1. Es gibt einen Gruppenmorphismus

[figure: B/f(A); u; B′/f(A′); b + f(A); t(b) + f(A′)]

Lemma 2. Sind s und t Isomorphismen, so auch u.

Sind k, ℓ ⩾ 0 und ist S ∈ Z^{k×ℓ} eine Matrix der Form k × ℓ mit ganzzahligen Einträgen, so schreiben wir Z^{ℓ×1} ^{\overline{}^{S}} Z^{k×1} für den Gruppenmorphismus, der einem ganzzahligen Vektor x ∈ Z^{ℓ×1} den ganzzahligen Vektor Sx ∈ Z^{k×1} zuordnet. Komposition entspricht so der Matrixmultiplikation.

Bemerkung. Seien m, n ⩾ 0, und sei M ∈ Z^{m×n} gegeben. Mit dem Elementarteilersatz gibt es invertierbare Matrizen S ∈ Z^{n×n} und T ∈ Z^{m×m} so, daß D := T MS ∈ Z^{m×n} eine Diagonalmatrix ist (wenn auch keine quadratische, im allgemeinen), deren Diagonaleinträge sich sukzessive teilen. Dies gibt ein kommutatives Viereck

\xymatrix{Z^{n×1} \ar[r]^{M} \ar[d]_{S^{−1}}^{≀} & Z^{m×1} \ar[d]^{T}_{≀} \\ Z^{n×1} \ar[r]^{D} & Z^{m×1}}

abelscher Gruppen mit vertikalen Isomorphismen. Mit Lemma 2 ist also

Z^{m×1}/MZ^{n×1} ≃ Z^{m×1}/DZ^{n×1} .

Lemma 3. Habe die Diagonalmatrix D ∈ Z^{m×n} die nichtverschwindenden Diagonaleinträge d_{1}, …, d_{s} an den Positionen (1, 1), …, (s, s), und ansonsten Nulleinträge. Dann ist

Z^{m×1}/DZ^{n×1} ≃ Z/d_{1}Z ⊕ ⋯ ⊕ Z/d_{s}Z ⊕ Z^{⊕(m−s)} .

Eine abelsche Gruppe A heißt endlich erzeugt, falls es ein k ⩾ 0 gibt und Elemente a_{1}, …, a_{k} derart, daß jedes Element a ∈ A sich schreiben läßt als

a = z_{1}a_{1} + ⋯ + z_{k}a_{k}

mit geeigneten z_{i} ∈ Z. Das Tupel (a_{1}, …, a_{k}) heißt auch Erzeugendensystem von A.

Lemma 4. Sei A ^{\overline{}^{f}} B ein surjektiver Gruppenmorphismus abelscher Gruppen. Seien B und Kern f = {a ∈ A : f(a) = 0} endlich erzeugt. Dann ist auch A endlich erzeugt.

Sei (b_{1}, …, b_{s}) ein Erzeugendensystem von B. Sei a_{i} ein Urbild von b_{i} unter f für i ∈ [1, s]. Sei (x_{1}, …, x_{t}) ein Erzeugendensystem von Kern f. Dann ist

(x_{1}, …, x_{t}, a_{1}, …, a_{s})

ein Erzeugendensystem von A.

Lemma 5. Jede Untergruppe ungleich {0} von Z hat ein eindeutig bestimmtes Erzeugendensystem aus einem positiven Element. Insbesondere ist jede Untergruppe von Z endlich erzeugt.

Beweis. Sei V ⩽ Z. Sei v := min(V ∩ Z_{⩾1}). Division mit Rest zeigt, daß (v) ein Erzeugendensystem von V ist.

Lemma 6. Sei m ⩾ 0. Sei U ⩽ Z^{m×1}. Es ist U eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Beweis. Induktion über m. Sei Z^{m×1} ^{\overline{}^{p}} Z^{(m−1)×1} die Projektion auf die Koordinaten 2 bis m. Es ist Kern p ≃ Z. Werde nun Lemma 4 angewandt auf A = U, B = p(U) und f : A \overline{}B, a \overline{}p(a). Es ist B endlich erzeugt nach Induktionsvoraussetzung. Es ist Kern f endlich erzeugt, da Untergruppe von Kern p, und damit mit Lemma 5 sogar von einem Element erzeugt.

Satz. Sei A eine endliche abelsche Gruppe. Es gibt auf eindeutige Weise d_{1}, …, d_{s} ∈ Z_{⩾2} mit d_{1}|d_{2}| ⋯ |d_{s} so, daß

A ≃ Z/d_{1}Z ⊕ Z/d_{2}Z ⊕ ⋯ ⊕ Z/d_{s}Z .

Beweis. Existenz. Sei (a_{1}, …, a_{m}) ein Erzeugendensystem von A. Wir haben einen surjektiven Gruppenmorphismus Z^{m×1} ^{\overline{}^{f}} A, der den i-ten Standardbasisvektor auf a_{i} schickt für i ∈ [1, m]. Sei B der Kern von f. Nach vorigem Lemma ist B endlich erzeugt. Sei (b_{1}, …, b_{n}) ein Erzeugendensystem von B. Wir haben einen surjektiven Gruppenmorphismus Z^{n×1} \overline{}B, der den i-ten Standardbasisvektor auf b_{i} schickt für i ∈ [1, n]. Insgesamt

Z^{n×1} \overline{}B = Kern f \overline{}Z^{m×1} ^{\overline{}^{f}} A .

Mit dem Homomorphiesatz ist A isomorph zu Z^{m×1}/ Kern f. Sei M eine beschreibende Matrix des Kompositums Z^{n×1} \overline{}Z^{m×1} bezüglich der Standardbasen, i.e. sei das Kompositum gleich Z^{n×1} ^{\overline{}^{M}} Z^{m×1}. Dann ist A isomorph zu Z^{m×1}/MZ^{n×1}. Eine Anwendung der Bemerkung und des Lemmas 3 zeigt nun die Existenz der d_{i} mit der verlangten Isomorphie.

Eindeutigkeit. Für m ∈ Z_{⩾1} schreiben wir A[m] für den Kern der Multiplikationsabbildung mit m auf A. Sei p eine Primzahl. Wir schreiben

v_{p}(m) := max{k ⩾ 0 : p^{k}|m}

für die Bewertung (valuation) von m bei p. Für k ∈ Z_{⩾0} schreiben wir

q_{A,p}(k) := v_{p}(\frac{|A[p^{k+1}]|}{|A[p^{k}]|}) .

Es genügt, für gegebenes i die Bewertung v_{p}(d_{i}) von d_{i} als invariant unter Isomorphie nachzuweisen.

Es ist q_{A,p}(k) eine solche Invariante. Also ist auch s invariant unter Isomorphie, da s das Maximum der Werte q_{A,p}(0) ist, wobei p die Primteiler von |A| durchläuft.

Für ℓ ∈ [0, s − 1] ist nun v_{p}(d_{s−ℓ}) = min{k ∈ Z_{⩾0} : q_{A,p}(k) ⩽ ℓ}.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/gruppen/gruppen.html