Vortrag 4 — Anzahl von p-Untergruppen

Länge bedeute Kardinalität (meist von gewissen Teilmengen).

1. Zyklische Gruppe Sei m ⩾ 1. Sei C_{m} := ⟨x⟩ die zyklische Gruppe von Ordnung m. Bemerkung 1. Sei d ein Teiler von m. Es hat C_{m} genau eine Untergruppe von Ordnung d. Beweis. Schreibe m = de. Das Element x^{e} hat Ordnung d. Damit ist |⟨x^{e}⟩| = d. Bleibt zu zeigen, daß jede Untergruppe U ⩽ C_{m} von Ordnung d mit ⟨x^{e}⟩ übereinstimmt. Für x^{i} ∈ U gilt 1 = (x^{i})^{|U|} = x^{id}. Also ist m = ed ein Teiler von id. Also ist e ein Teiler von i. Somit ist x^{i} ∈ ⟨x^{e}⟩. Also ist U ⩽ ⟨x^{e}⟩. Wegen |U| = d = |⟨x^{e}⟩| ist U = ⟨x^{e}⟩.

2. Satz von Sylow-Wielandt Sei G eine endliche Gruppe. Sei p prim. Schreibe |G| = p^{t}n mit t ∈ Z_{⩾0} und n ≢_{p} 0. Sei s ∈ [0, t]. Setze

A_{G}(p^{s}) := |{H ⩽ G : |H| = p^{s}}| .

Satz (Sylow-Wielandt). Es ist A_{G}(p^{s}) ≡_{p} 1. Im Falle s = t ist dies die Aussage des dritten Sylowsatzes : die Anzahl der p-Sylow-gruppen von G ist kongruent zu 1 modulo p.

3. Vorarbeiten zum Beweis Sei

Ω := {M ⊆ G : |M| = p^{s}} .

Es ist |Ω| = (\begin{matrix}p^{t}n \\ p^{s} \end{matrix}).

Es operiert G auf Ω via g · M := {gm : m ∈ M}. Wir schreiben C_{G}(M) = {g ∈ G : g · M = M} ⩽ G. Bemerkung 2. Sei M ∈ Ω. Es ist |C_{G}(M)| ein Teiler von p^{s}. Ist ferner |C_{G}(M)| = p^{s}, so ist M = C_{G}(M)m für ein m ∈ M. Beweis. Aus g · M = M für alle g ∈ C_{G}(M) folgt, daß gm ⊆ M für alle g ∈ C_{G}(M) und alle m ∈ M, d.h. daß C_{G}(M)m ⊆ M für alle m ∈ M. Also ist

M = ⋃_{m∈M} C_{G}(M)m .

Da zwei solche Rechtsnebenklassen C_{G}(M)m und C_{G}(M)m′ aber disjunkt oder gleich sind, gibt es m_{i} ∈ M mit

M = ⨆_{i} C_{G}(M)m_{i} .

Da alle Teilnehmer dieser disjunkten Vereinigung Länge |C_{G}(M)| haben, folgt, daß |M| = p^{s} ein Vielfaches von |C_{G}(M)| ist. Ist nun p^{s} = |C_{G}(M)|, so hat diese disjunkte Vereinigung nur einen Teilnehmer.

Bemerkung 3. Es enthält jede Bahn von Ω höchstens eine Untergruppe. Beweis. Seien H, H̃ ⩽ G mit |H| = |H̃| = p^{s} in derselben Bahn von Ω. Dann gibt es ein g ∈ G mit H̃ = gH. Insbesondere ist 1 ∈ gH, d.h. 1 = gh für ein h ∈ H. Somit ist H̃ = gH = h^{−1}H = H. Bemerkung 4. Enthält eine Bahn von Ω eine Untergruppe, so hat sie Länge p^{t−s}n. Beweis. Sei H ⩽ G mit |H| = p^{s}. Dann ist G · H = {gH : g ∈ G} = G/H, und also |G · H| = |G/H| = |G|/|H| = p^{t−s}n. Bemerkung 5. Ist eine Bahn von Ω von Länge p^{t−s}n, so enthält sie eine Untergruppe. Beweis. Sei M ∈ Ω so gegeben, daß |G · M| = p^{t−s}n. Mit dem Bahnenlemma folgt |C_{G}(M)| = \frac{|G|}{|G·M|} = p^{s}. Aus Bemerkung 2 folgt M = C_{G}(M)m für ein m ∈ M. Nun ist aber die Untergruppe m^{−1}C_{G}(M)m = m^{−1}M in der Bahn von M. Bemerkung 6. Ist eine Bahn von Ω nicht von Länge p^{t−s}n, so wird ihre Länge von p^{t−s+1}n geteilt. Beweis. Sei M ∈ Ω. Mit dem Bahnenlemma und Bemerkung 2 sehen wir, daß \frac{|G|}{|G·M|} = |C_{G}(M)| ein Teiler von p^{s} ist. Also gibt es ein u ⩾ 0 mit

\frac{p^{t}n}{|G · M|} · p^{u} = p^{s} .

Es folgt

|G · M| = p^{t−s+u}n .

Ist nun |G · M| ≠ p^{t−s+u}n, so ist u ⩾ 1.

4. Beweis zu Sylow-Wielandt Sei

Ω = G · M_{1} ⊔ ⋯ ⊔ G · M_{k} ⊔ G · M_{k+1} ⊔ ⋯ ⊔ G · M_{ℓ}

die disjunkte Zerlegung in Bahnen, so sortiert, daß |G · M_{i}| = p^{t−s}n genau dann, wenn i ∈ [1, k]. Aus den Bemerkungen 4 und 5 folgt, daß eine Bahn von Ω genau dann eine Untergruppe enthält, wenn sie von Länge p^{t−s}n ist. Mit Bemerkung 3 ist also die Anzahl k der Bahnen von Ω von Länge p^{t−s}n gleich der Anzahl A_{G}(p^{s}) der Elemente von Ω, die Untergruppen von G sind. Mit Bemerkung 6 wird

(\begin{matrix}p^{t}n \\ p^{s} \end{matrix}) = |Ω| = ∑_{i∈[1,ℓ]} |G · M_{i}| ≡_{p^{t−s+1}n} ∑_{i∈[1,k]} |G · M_{i}| = A_{G}(p^{s}) · p^{t−s}n .

Da man so für jede Gruppe von Ordnung p^{t}n schließen kann, also auch für C_{p^{t}n}, ist mit Bemerkung 1

A_{G}(p^{s}) · p^{t−s}n ≡_{p^{t−s+1}n} (\begin{matrix}p^{t}n \\ p^{s} \end{matrix}) ≡_{p^{t−s+1}n} \underbrace{A_{C_{p^{t}n}}(p^{s})}_{= 1} · p^{t−s}n = p^{t−s}n .

Entfernen des Faktors p^{t−s}n gibt

A_{G}(p^{s}) ≡_{p} 1 .

5. Beispiel G = S_{4}, p = 2.

Untergruppen von Ordnung 1: {id}. Also A_{S_{4}}(1) = 1 ≡_{2} 1.

Untergruppen von Ordnung 2: ⟨(1, 2)⟩, ⟨(1, 3)⟩, ⟨(1, 4)⟩, ⟨(2, 3)⟩, ⟨(2, 4)⟩, ⟨(3, 4)⟩, ⟨(1, 2)(3, 4)⟩, ⟨(1, 3)(2, 4)⟩, ⟨(1, 4)(2, 3)⟩. Also A_{S_{4}}(2) = 9 ≡_{2} 1.

Untergruppen von Ordnung 4: ⟨(1, 2), (3, 4)⟩, ⟨(1, 3), (2, 4)⟩, ⟨(1, 4), (2, 3)⟩, ⟨(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4)⟩, ⟨(1, 2, 3, 4)⟩, ⟨(1, 3, 2, 4)⟩, ⟨(1, 3, 4, 2)⟩. Also A_{S_{4}}(4) = 7 ≡_{2} 1.

Untergruppen von Ordnung 8: ⟨(1, 2, 3, 4), (1, 3)⟩, ⟨(1, 3, 2, 4), (1, 2)⟩, ⟨(1, 2, 4, 3), (1, 4)⟩. Also A_{S_{4}}(8) = 3 ≡_{2} 1.

Beachte, daß die Untergruppen von Ordnung 2 nicht alle zueinander konjugiert sind. Auch die Untergruppen von Ordnung 4 sind nicht alle zueinander konjugiert. Wohl aber sind dies, in Übereinstimmung mit dem zweiten Sylowsatz, die Untergruppen von Ordnung 8, denn dies sind die 2-Sylowgruppen in S_{4}.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/gruppen/gruppen.html