Vorträge 10 + 11 — Freie Gruppen; Gruppen in Erzeugern und Relationen

Sei X eine Menge. Sei X^{±} := {x^{+1} : x ∈ X} ⊔ {x^{−1} : x ∈ X}. D.h. X^{±} ist die Menge der Symbole x^{+1}, x^{−1}, wobei x ∈ X. Sei F_{0}(X) die Menge der endlichen Wörter in X^{±}. Ein Element von F_{0}(X) ist also von der Form x_{1}^{ε_{1}} … x_{n}^{ε_{n}} mit x_{i} ∈ X und ε_{i} ∈ {−1, +1}. Das leere Wort werde zur Kenntlichmachung mit dem Symbol 1 bezeichnet. Sind u, v ∈ F_{0}(X), so bezeichne uv deren Aneinandersetzung. Definiere auf F_{0}(X) die Relation (⇝) dadurch, daß für u, v ∈ F_{0}(X) und x ∈ X stets ux^{+1}x^{−1}v ⇝ uv und ux^{−1}x^{+1}v ⇝ uv gelte. Sei (≈) die Äquivalenzrelation, die von (⇝) erzeugt wird. Sei F (X) := F_{0}(X)/≈ die Menge der Äquivalenzklassen. Bezeichne [u] ∈ F (X) die Äquivalenzklasse von u ∈ F_{0}(X). Lemma. Wir können auf F (X) eine Multiplikation definieren durch [u][v] := [uv]. Dies definiert auf F (X) eine Gruppenstruktur. Wir nennen F (X) die freie Gruppe auf X. Beweis. Seien u, u′, v, v′ ∈ F_{0}(X). Ist u ⇝ u′ und v ⇝ v′, dann ist uv ⇝ u′v ⇝ u′v′. Also folgt aus u ≈ u′ und v ≈ v′, daß uv ≈ u′v ≈ u′v′. Damit ist die Multiplikation auf F (X) wohldefiniert. Assoziativität folgt aus der Assoziativität des Aneinandersetzens. Die Eins ist durch [1] gegeben. Das Inverse zu [x_{1}^{ε_{1}} … x_{n}^{ε_{n}}] ist gegeben durch [x_{n}^{−ε_{n}} … x_{1}^{−ε_{1}}], wobei x_{i} ∈ X, ε_{i} ∈ {−1, +1}. Lemma. Sei G eine Gruppe. Sei X ^{\overline{}^{f}} G eine Abbildung. Dann gibt es genau einen Gruppenmorphismus F (X) ^{\overline{}^{f̂}} G derart, daß f̂([x_{i}]) = f(x_{i}) für alle i ∈ [1, n]. Beweis. Eindeutigkeit folgt daraus, daß jedes Element von F (X) ein Produkt von Elementen der Form [x] mit x ∈ X und ihrer Inversen ist. Zur Existenz setzen wir

f̂([x_{1}^{ε_{1}} … x_{n}^{ε_{n}}]) := f(x_{1})^{ε_{1}} ⋯ f(x_{n})^{ε_{n}}

für x_{i} ∈ X, ε_{i} ∈ {−1, +1}. Seien u, u′ ∈ F_{0}(X). Ist u ⇝ u′, dann ist f̂([u]) = f̂([u′]). Also folgt aus u ≈ u′, daß f̂([u]) = f̂([u′]). Damit ist f̂ wohldefiniert. Ferner ist f̂ Morphismus von Gruppen. Wir schreiben nun auch kurz (und unter Mißbrauch von Bezeichnungsweisen) x statt x^{+1} für x ∈ X. Sei H eine Gruppe, sei I eine Menge, und sei N_{i} ⊴ H für alle i ∈ I. Dann ist ⋂_{i∈I} N_{i} Normalteiler von H. Also gibt es zu jeder Teilmenge T von H einen eindeutig kleinsten Normalteiler von H, der T enthält, nämlich den Schnitt aller Normalteiler, die T enthalten, geschrieben ⟨⟨T ⟩⟩, und genannt das Normalteilererzeugnis von T. Dieses ist gleich dem Untergruppenerzeugnis von ⋃_{h∈H} hT h^{−1}.

Seien n, m ⩾ 0. Sei X = {x_{1}, …, x_{n}} eine endliche Menge, x_{i} ≠ x_{j} für i ≠ j. Seien r_{1}, …, r_{m} ∈ F_{0}(X). Schreibe

⟨x_{1}, … x_{n} : r_{1}, …, r_{m}⟩ := F ({x_{1}, …, x_{n}})/⟨⟨{[r_{1}], …, [r_{m}]}⟩⟩

für die durch die Erzeugenden x_{1}, …, x_{n} und die Relationen r_{1}, …, r_{m} definierte Gruppe.

Schreibe N := ⟨⟨{[r_{1}], …, [r_{m}]}⟩⟩ ⊴ F (X).

Lemma. Sei G eine Gruppe. Sei X ^{\overline{}^{f}} G eine Abbildung. Sei f̂([r_{i}]) = 1_{G} für alle i ∈ [1, m]. Dann gibt es genau einen Gruppenmorphismus

⟨x_{1}, … x_{n} : r_{1}, …, r_{m}⟩ ^{\overline{}^{f̃}} G

derart, daß f̃([x]N) = f(x) für alle x ∈ X.

Beweis. Eindeutigkeit folgt daraus, daß jedes Element von

F (X)/N = ⟨x_{1}, … x_{n} : r_{1}, …, r_{m}⟩

ein Produkt von Bildern der x_{i} in F (X)/N und ihrer Inversen ist.

Zur Existenz bemerken wir, daß aus f̂([r_{i}]) = 1_{G} für alle i ∈ [1, m] folgt, daß f̂(N) = {1_{G}}. Also ist die Abbildung f̃ mit

f̃(uN) := f̂(u)

für u ∈ F (X) wohldefiniert. Ferner ist f̃ ein Gruppenmorphismus.

Das Bild von u ∈ F_{0}(X) in F (X)/N modulo N wird (unter Mißbrauch von Bezeichnungsweisen) auch kurz wieder u geschrieben.

Sei nun D_{8} := ⟨a, b : aaaa, bb, baba⟩ =^{kurz} ⟨a, b : a^{4}, b^{2}, (ba)^{2}⟩.

Lemma. Es hat D_{8} höchstens 8 Elemente.

Beweis. Da ba = a^{−1}b und ba^{−1} = ab, ist jedes Element in D_{8} ist von der Form a^{i}b^{j} für gewisse i ∈ [0, 3] und j ∈ [0, 1].

Lemma. Es gibt einen Gruppenmorphismus D_{8} \overline{}S_{4}, a \overline{}(1, 2, 3, 4), b \overline{}(1, 3). Dieser ist injektiv. Es ist |D_{8}| = 8.

Beweis. Es ist (1, 2, 3, 4)^{4} = id, es ist (1, 3)^{2} = id und es ist ((1, 3)∘(1, 2, 3, 4))^{2} = id.

Mit vorvorigem Lemma existiert D_{8} \overline{}S_{4} wie angegeben auf eindeutige Weise.

Bleibt die Injektivität zu zeigen. Die von (1, 2, 3, 4) und (1, 3) in S_{4} erzeugte Untergruppe U hat 8 Elemente. Also ist D_{8} \overline{}U eine surjektive Abbildung, deren Urbildbereich ⩽ 8 und deren Bildbereich = 8 Elemente hat. Es folgt, daß auch D_{8} aus 8 Elementen besteht.

(Wir merken noch ohne Beweis an, daß D_{8} isomorph zur Symmetriegruppe des Quadrates ist, letztere gebildet bezüglich O_{2}(R).)

Ein Automorphismus f einer Gruppe H ist ein bijektiver Gruppenmorphismus von H nach H. Ein solcher heißt inner, wenn es ein y ∈ H so gibt, daß f(h) = ^{y}h = yhy^{−1} für alle h ∈ H.

Bemerkung. Es ist D_{8} \overline{}D_{8}, a \overline{}a, b \overline{}ab ein Automorphismus von D_{8}. Dieser ist nicht inner.

Beweis. Es ist a^{4} = 1, (ab)^{2} = 1 und (ab · a)^{2} = 1. Also existiert der Gruppenmorphismus von D_{8} nach D_{8} wie angegeben. Da jedes Element von D_{8} Produkt von Elementen aus {a, ab} ist, ist dieser Morphismus surjektiv. Da D_{8} endlich ist, ist er mithin auch injektiv.

Ferner gibt es kein y ∈ D_{8} mit ^{y}b = ab. Also ist unser Automorphismus nicht inner.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/gruppen/gruppen.html