Vorträge 1 + 2 — Grundlagen

Begriff Gruppe. Seien G und H Gruppen. Eine Abbildung G ^{\overline{}^{f}} H heißt (Gruppen-)Morphismus, falls f(xy) = f(x)f(y) für x, y ∈ G. Dann ist auch f(1) = 1. Ist f zudem bijektiv, so heißt f Isomorphismus. Dann ist auch f^{−1} Isomorphismus. Ein Isomorphismus von G nach G heißt auch Automorphismus von G. Die Automorphismen von G bilden mit der Komposition eine Gruppe, geschrieben Aut G, die Automorphismengruppe von G. Beispiel. Sei g ∈ G. Schreibe ^{g}x := gxg^{−1} für die Konjugation von x mit g von links. Es ist G \overline{}G, x \overline{}^{g}x ein Automorphismus. Automorphismen dieser Form heißen inner, Automorphismen nicht von dieser Form äußer. Eine Teilmenge U ⊆ G heißt Untergruppe, falls 1 ∈ U und falls für alle u, v ∈ U auch uv^{−1} ∈ U. Schreibe U ⩽ G. Eine Untergruppe U ⩽ G heißt Normalteiler, falls für alle u ∈ U und alle g ∈ G auch ^{g}u := gug^{−1} in U liegt. Schreibe U ⊴ G. Bemerkung. Untergruppe mit vererbter Multiplikation wieder Gruppe. Beispiel. Ist G ^{\overline{}^{f}} H ein Gruppenmorphismus, so ist f(G) ⩽ H und Kern f := f^{−1}(1) ⊴ G. Bemerkung. Ein Gruppenmorphismus G ^{\overline{}^{f}} H ist injektiv genau dann, wenn Kern f = {1}. Beispiel. Zykelschreibweise in S_{n}. Eine Untergruppe in S_{3}, die Normalteiler ist. Eine, die es nicht ist. Lemma (Lagrange). Ist G endlich, so ist |U| Teiler von |G|. Beweis. Es ist G = ⨆_{g∈T} gU eine disjunkte Vereinigung für eine Teilmenge T ⊆ G. Alle Nebenklassen gU haben Kardinalität |U|. Beispiel. Untergruppe ⟨g⟩ := {g^{z} : z ∈ Z}. Ordnung eines Elements ist |⟨g⟩|, ggf. gleich ∞. Ist G endlich, dann ist |⟨g⟩| Teiler von |G| (Lagrange). Zusammenhang |⟨g⟩| und |⟨g^{k}⟩| für k ⩾ 1: |⟨g^{k}⟩| = |⟨g⟩|/ ggT(|⟨g⟩|, k). Sei N ⊴ G. Sei G/N := {gN : g ∈ G} die Faktorgruppe G modulo N. Setze gN · hN := (gh)N. Lemma. Es ist G/N eine Gruppe, und G \overline{}G/N Gruppenmorphismus mit Kern N. Beispiel. S_{3}/⟨(1, 2, 3)⟩ ≃ C_{2}. Lemma (Homomorphiesatz). Sei G ^{\overline{}^{f}} H ein Gruppenmorphismus. Dann ist

G/ Kern f \overline{}f(G)
g Kern f \overline{}f(g)

ein Isomorphismus.

Beweis. Wohldefiniert. Surjektiv und Morphismus nach Konstruktion. Injektiv, da Kern dieses Morphismus gleich {1}.

Beispiel. Wir haben einen Gruppenmorphismus G \overline{}Aut G, g \overline{}(x \overline{}^{g}x). Sein Kern ist das Zentrum

Z(G) := {g ∈ G : gx = xg für alle x ∈ G} .

Sein Bild, geschrieben Inn G, ist normal in Aut G. Wir haben Inn G ≃ G/Z(G). Schreibe noch Out G := Aut G/ Inn G.

Sei X eine Menge. Sei G × X \overline{}X, (g, x) \overline{}g · x = gx eine Abbildung so, daß 1 · x = x für x ∈ X, und so, daß g(hx) = (gh)x. Diese Abbildung heißt auch Operation von G auf X.

Beispiel. S_{n} operiert auf {1, …, n}. G operiert auf G via g ∗ x := g · x für g, x ∈ G (Operation hier (∗) geschrieben). G operiert auf G via g ∗ x := gxg^{−1} = ^{g}x für g, x ∈ G (Operation hier (∗) geschrieben).

Sei C_{G}(x) := {g ∈ G : gx = x} ⩽ G für x ∈ X der Stabilisator von x in G.

Beispiel. Stabilisator in obigen drei Beispielen.

Lemma (Bahnenlemma). Sei x ∈ X. Es ist |Gx| = \frac{|G|}{|C_{G}(x)|}.

Beweis. Die Abbildung G/C_{G}(x) \overline{}Gx, gC_{G}(x) \overline{}gx ist wohldefiniert und bijektiv.

Beispiel. Operation von S_{n} auf {1, …, n}, x = 1.

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