Seminar Gruppentheorie

Gruppen treten überall in der Mathematik auf. Ist ein beliebiges mathematisches Objekt X gegeben, so kann man die Gesamtheit seiner Symmtrien studieren, in anderen Worten, man kann seine Automorphismengruppe Aut X betrachten.

Die Automorphismengruppe des Vektorraums R^{n} z.B. ist die Gruppe der invertierbaren n × n-Matrizen mit Einträgen in R. Einfacher noch, die Automorphismengruppe der Menge {1, …, n} ist die symmetrische Gruppe S_{n}, die aus den Permutationen von {1, …, n} besteht und die man etwa aus der Leibnizformel für die Determinante kennt.

Man kann nun auch von S_{n} selbst wieder die Automorphismengruppe betrachten. Kurioserweise hat die Gruppe S_{6} einen exotischen Automorphismus, den S_{n} für n ≠ 6 nicht hat.

Ist die Multiplikation in einer Gruppe kommutativ, so spricht man von einer abelschen Gruppe. Die endlichen abelschen Gruppen kann man klassifizieren.

Sei p prim und k ≥ 0. Die Anzahl der Untergruppen der Ordnung p^{k} in einer endlichen Gruppe kennt man zumindest bis auf Vielfache von p.

Solche Themen sollen im Seminar behandelt werden.