M. Künzer

Galoistheorie, WS 08/09

Lösung 3

Aufgabe 7

(1) Um zu zeigen, daß K ^{\overline{}^{f}} R injektiv ist, müssen wir gemäß Lemma in §1.4.3 zeigen, daß Kern f = {0_{K}}.

Mit demselben Lemma wissen wir, daß Kern f ⊆ K ein Ideal ist. Dank der letzten Bemerkung aus §1.2 wissen wir, daß dies Kern f = {0_{K}} oder Kern f = K zur Folge hat.

Sei angenommen, es ist Kern f = K. Dann bildet f alle Elemente von K auf 0_{R} ab. Insbesondere wird 1_{R} = f(1_{K}) = 0_{R}. Ist nun x ∈ R, so wird x = x · 1_{R} = x · 0_{R} = 0_{R}, und mithin R = {0_{R}}, Widerspruch.

Also ist Kern f = {0_{K}}, wie zu zeigen war.

(2) Es ist φ : K[X] \overline{}K, f(X) \overline{}f(0) = f_{0} ein Ringmorphismus, wie man entweder direkt verifiziert, oder aber aus der Bemerkung aus §1.6.2 mit n = 1, a = id_{K} und s = 0 entnimmt – kurz, die Prozedur des Einsetzens der 0 ist ein Ringmorphismus.

Ist f(X) = ∑_{i⩾0} f_{i}X^{i} ∈ Kern φ, so ist f_{0} = 0, und wir können f(X) = X · (∑_{i⩾1} f_{i+1}X^{i}) schreiben. Somit ist Kern φ ⊆ XR[X].

Ist umgekehrt f(X) ∈ XR[X], so können wir f(X) = Xg(X) für ein g(X) ∈ R[X] schreiben und erhalten durch Koeffizientenvergleich f_{0} = 0.

Insgesamt ist also Kern φ = XR[X].

Das Lemma aus §1.4.3 zeigt nun, da φ surjektiv ist, daß R[X]/ Kern φ ≃ R ist.

Aufgabe 8

(1) Es ist h(X) = f(X)q(X) + r(X). Wir haben zu zeigen, daß

f(X)K[X] + h(X)K[X] =^{!} f(X)K[X] + r(X)K[X] .

Da h(X) = f(X)q(X) + r(X), ist h(X) in der rechten Seite enthalten. Da auch f(X) in der rechten Seite enthalten ist, ist jedes Element der linken Seite in der rechten Seite enthalten.

Da r(X) = −f(X)q(X) + h(X), ist r(X) in der linken Seite enthalten. Da auch f(X) in der linken Seite enthalten ist, ist jedes Element der rechten Seite in der linken Seite enthalten.

(2) Es ist deg u_{1} > deg u_{2} > deg u_{3} > … strikt fallend und kann daher nicht unendlich lang in Z_{⩾0} fortgesetzt werden. Also muß es ein ℓ ⩾ 0 geben, bei dem zwar noch deg u_{ℓ} ⩾ 0, aber deg u_{ℓ+1} = −∞ ist, i.e. u_{ℓ+1}(X) = 0.

Mit (1) ist nun

h(X)K[X] + f(X)K[X] = u_{0}(X)K[X] + u_{1}(X)K[X]
= u_{1}(X)K[X] + u_{2}(X)K[X]
= ⋯
= u_{ℓ}(X)K[X] + u_{ℓ+1}(X)K[X]
= g(X)K[X] + 0 · K[X]
= g(X)K[X] .

(3) Wir behaupten, daß u_{k}(X)s_{k}(X) + u_{k−1}(X)s_{k+1}(X) = g(X) für alle k ∈ [1, ℓ], insbesondere also für k = 1, was dann f(X)s_{1}(X) + h(X)s_{2}(X) = g(X) gibt. Wir führen eine absteigende Induktion nach k. Der Induktionsanfang ist durch u_{ℓ}(X)s_{ℓ}(X)+ u_{ℓ−1}(X)s_{ℓ+1}(X) = u_{ℓ}(X) = g(X) gesichert. Für den Induktionsschritt nehmen wir u_{k}(X)s_{k}(X)+ u_{k−1}(X)s_{k+1}(X) = g(X) für ein k ∈ [2, ℓ] als bekannt an. Wir erhalten

u_{k−1}(X)s_{k−1}(X) + u_{k−2}(X)s_{k}(X)
= u_{k−1}(X)(s_{k+1}(X) − s_{k}(X)q_{k−1}(X)) + (u_{k−1}(X)q_{k−1}(X) + u_{k}(X))s_{k}(X)
= u_{k−1}(X)s_{k+1}(X) + u_{k}(X)s_{k}(X)
= g(X) .

(4) Euklid liefert

\begin{aligned}(X^{8} + X^{3} + X + 1) & = & (X^{3} + 1)(X^{5} + X^{2} + 1) + (X^{2} + X) \\ (X^{3} + 1) & = & (X^{2} + X)(X + 1) + (X + 1) \\ (X^{2} + X) & = & (X + 1)X + 0 . \end{aligned}

Also ist ℓ = 3 und g(X) = X + 1, und wir erhalten als Folge der s_{k}(X) mit s_{4}(X) = 0 und s_{3}(X) = 1

\begin{aligned}s_{2}(X) & = & 0 − 1 · (X + 1) & = & X + 1 \\ s_{1}(X) & = & 1 − (X + 1) · (X^{5} + X^{2} + 1) & = & X^{6} + X^{5} + X^{3} + X^{2} + X \end{aligned}

Es wird so f(X)s_{1}(X) + h(X)s_{2}(X) = g(X), i.e.

(X^{3} + 1)(X^{6} + X^{5} + X^{3} + X^{2} + X) + (X^{8} + X^{3} + X + 1)(X + 1) = (X + 1) ,

wie man auch leicht nachrechnet.

Aufgabe 9

Die Formel für die Addition folgt aus

rf(X) + sg(X) = (∑_{i⩾0}(rf_{i} + sg_{i})X^{i})′
= ∑_{i⩾1} i(rf_{i} + sg_{i})X^{i−1}
= r · (∑_{i⩾1} if_{i}X^{i−1}) + s · (∑_{i⩾1} ig_{i}X^{i−1})
= rf′(X) + sg′(X) .

Für die Formel für die Multiplikation zeigen wir zunächst, daß sie im Falle f(X) = X^{i} und g(X) = X^{j} gilt, wobei i, j ∈ Z_{⩾0}.

Es wird, falls i ⩾ 1 und j ⩾ 1,

(X^{i}X^{j})′ = (X^{i+j})′
= (i + j)(X^{i+j−1})
= i(X^{i−1}) · X^{j} + X^{i} · j(X^{j−1})
= (X^{i})′X^{j} + X^{i}(X^{j})′ .

Falls i = 0, so wird (X^{0}X^{j})′ = (X^{j})′ = (X^{0})′X^{j} + X^{0}(X^{j})′. Analog im Fall j = 0.

Im allgemeinen Fall wird nun, unter Verwendung der Formel für die Addition

(f(X)g(X))′ = ((∑_{i⩾0} f_{i}X^{i})(∑_{j⩾0} g_{j}X^{j}))′
= (∑_{i⩾0} ∑_{j⩾0} f_{i}g_{j}X^{i+j})′
= ∑_{i⩾0} ∑_{j⩾0} f_{i}g_{j}(X^{i+j})′
= ∑_{i⩾0} ∑_{j⩾0} f_{i}g_{j}((X^{i})′X^{j} + X^{i}(X^{j})′)
= ∑_{i⩾0} ∑_{j⩾0} f_{i}g_{j}(X^{i})′X^{j} + ∑_{i⩾0} ∑_{j⩾0} f_{i}g_{j}X^{i}(X^{j})′
= (∑_{i⩾0} f_{i}(X^{i})′)(∑_{j⩾0} g_{j}X^{j}) + (∑_{i⩾0} f_{i}X^{i})(∑_{j⩾0} g_{j}(X^{j})′)
= (∑_{i⩾0} f_{i}X^{i})′(∑_{j⩾0} g_{j}X^{j}) + (∑_{i⩾0} f_{i}X^{i})(∑_{j⩾0} g_{j}X^{j})′
= f′(X)g(X) + f(X)g′(X) .

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html