M. Künzer

Galoistheorie, WS 08/09

Lösung 14

Aufgabe 48

(1) Zunächst zeigen wir, daß für a ∈ Z genau dann g^{a} = 1 ist, wenn o(g) = n ein Teiler von a ist. Ist a ≡_{n} 0, so ist g^{a} = 1. Ist umgekehrt g^{a} = 1, so schreibe a = nq + r mit q ∈ Z und r ∈ [0, n − 1]. Dann folgt g^{r} = g^{nq}g^{r} = g^{a} = 1, und also, wegen der Minimalität von o(g), r = 0; vgl. Aufgabe 11. Sei U ⩽ G. Sei e := |G|/|U| = n/|U|; vgl. Aufgabe 38.(1.c). Wir wollen zeigen, daß U = ⟨g^{e}⟩. Ist g^{i} ∈ U, so ist (g^{i})^{|U|} = 1 mit Aufgabe 11.(1.c), und also i|U| ein Vielfaches von n = e|U|. Somit ist i Vielfaches von e, und also g^{i} ∈ ⟨g^{e}⟩. Insgesamt ist U ⩽ ⟨g^{e}⟩. Ferner ist o(g^{e}) = |U|; vgl. Aufgabe 27.(2). Also ist |U| = |⟨g^{e}⟩|; vgl. Aufgabe 11.(1.b). Es folgt U = ⟨g^{e}⟩.

(2) Schreibe Frob := Frob_{F_{p^{s}}}. Es ist Gal(F_{p^{s}}|F_{p}) = ⟨Frob⟩ von Ordnung s; vgl. §3.6.

Sei d ein Teiler von s. Sei K := Fix_{⟨Frob^{d}⟩} F_{p^{s}}. Es ist Gal(F_{p^{s}}|K) = ⟨Frob^{d}⟩ von Ordnung s/d; vgl. Satz 8.(2) aus §3.5.1.3 und Aufgabe 27.(2). Also ist [K : F_{p}] = d, insbesondere also K ≃ F_{p^{d}}. Auf diese Weise erhält man alle Zwischenkörper, da jede Untergruppe von ⟨Frob⟩ nach (1) von der Form ⟨Frob^{d}⟩ ist für einen Teiler d von s, und da nach Satz 9 (Hauptsatz der Galoistheorie) aus §3.5.2 jeder Körper zwischen F_{p^{s}} und F_{p} Fixkörper einer Untergruppe von ⟨Frob⟩ in F_{p^{s}} ist.

(3) Es ist X^{6} + X + 1 ∈ F_{2}[X] irreduzibel. Also können wir F_{64} = F_{2}(ε) mit ε^{6} = ε + 1 konstruieren. Dies kann z.B. mittels

F := GF(2);
R<X> := PolynomialRing(F);
Factorisation(X^6 + X + 1);
FF<e> := ext<F | X^6 + X + 1>;

in Magma geschehen. Es ist Gal(F_{64}|F_{2}) = ⟨Frob_{F_{64}}⟩ von Ordnung 6. Schreibe kurz Frob := Frob_{F_{64}}. Gemäß (1) sind die Untergruppen von ⟨Frob⟩ gegeben durch

[figure: {id_{F_{64}}}; ⟨Frob^{2}⟩; ⟨Frob^{3}⟩; ⟨Frob⟩]

wobei |⟨Frob^{2}⟩| = 3 und ⟨Frob^{3}⟩| = 2. Sicher ist Fix_{{id_{F_{64}} }} F_{64} = F_{64} = F_{2}(ε) und Fix_{⟨Frob⟩} F_{64} = F_{2}; vgl. erste Bemerkung in §3.5.1.4.

Wir berechnen Fix_{⟨Frob^{2}⟩} F_{64}. Eine F_{2}-Basis von F_{64} ist gegeben durch (1, ε, ε^{2}, ε^{3}, ε^{4}, ε^{5}). Da Tr_{⟨Frob^{2}⟩} eine surjektive F_{2}-lineare Abbildung von F_{64} nach Fix_{⟨Frob^{2}⟩} F_{64} ist, wird unter dieser Abbildung diese Basis auf ein F_{2}-Erzeugendensystem abgebildet; vgl. §3.5.1.2. Allgemein ist Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(x) = x + x^{4} + x^{16} für x ∈ F_{64}. Somit wird

( Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(1), Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(ε), Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(ε^{2}), Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(ε^{3}), Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(ε^{4})), Tr_{⟨Frob^{2}⟩}(ε^{5}))
= (1 + 1 + 1, ε + ε^{4} + ε^{16}, ε^{2} + ε^{8} + ε^{32}, ε^{3} + ε^{12} + ε^{48}, ε^{4} + ε^{16} + ε, ε^{5} + ε^{20} + ε^{17})
= (1, 1, 1, 0, 1, ε + ε^{3} + ε^{4} + ε^{5})

Also ist eine F_{2}-Basis von Fix_{⟨Frob^{2}⟩} F_{64} gegeben durch (1, ε + ε^{3} + ε^{4} + ε^{5}). Somit ist

Fix_{⟨Frob^{2}⟩} F_{64} = F_{2}(ε + ε^{3} + ε^{4} + ε^{5}) .

In der Tat ist μ_{ε+ε^{3}+ε^{4}+ε^{5},F_{2}}(X) = X^{2} + X + 1, womit wir mit Satz 3 (Morphismen induziert von Nullstellen) einen Isomorphismus

F_{4}  ^{\overline{}^{∼}} Fix_{⟨Frob^{2}⟩} F_{64}
α \overline{}ε + ε^{3} + ε^{4} + ε^{5}

bekommen, unter Verwendung unserer Standardnotation. Wir berechnen Fix_{⟨Frob^{3}⟩} F_{64}. Eine F_{2}-Basis von F_{64} ist gegeben durch (1, ε, ε^{2}, ε^{3}, ε^{4}, ε^{5}). Allgemein ist Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(x) = x + x^{8} für x ∈ F_{64}. Somit wird

( Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(1), Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(ε), Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(ε^{2}), Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(ε^{3}), Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(ε^{4})), Tr_{⟨Frob^{3}⟩}(ε^{5}))
= (1 + 1, ε + ε^{8}, ε^{2} + ε^{16}, ε^{3} + ε^{24}, ε^{4} + ε^{32}, ε^{5} + ε^{40})
= (0, ε + ε^{2} + ε^{3}, 1 + ε + ε^{2} + ε^{4}, 1 + ε^{3} + ε^{4}, 1 + ε^{3} + ε^{4}, 1 + ε + ε^{2} + ε^{3})

Also ist eine F_{2}-Basis von Fix_{⟨Frob^{3}⟩} F_{64} gegeben durch (1, ε + ε^{2} + ε^{3}, ε^{3} + ε^{4}, ). Beachte, daß

(ε + ε^{2} + ε^{3})^{2} = 1 + (ε + ε^{2} + ε^{3}) + (ε^{3} + ε^{4}) .

Somit ist

Fix_{⟨Frob^{3}⟩} F_{64} = F_{2}(ε + ε^{2} + ε^{3}) .

In der Tat ist μ_{ε+ε^{2}+ε^{3},F_{2}}(X) = X^{3} + X + 1, womit wir mit Satz 3 (Morphismen induziert von Nullstellen) einen Isomorphismus

F_{8}  ^{\overline{}^{∼}} Fix_{⟨Frob^{2}⟩} F_{64}
β  \overline{}ε + ε^{2} + ε^{3}

bekommen, unter Verwendung unserer Standardnotation. Alle Zwischenkörper in ein dem obigen Untergruppendiagramm entsprechendes Diagramm eingetragen, erhalten wir also folgendes.

[figure: F_{64} = F_{2}(ε); F_{4} ≃ F_{2}(ε + ε^{3} + ε^{4} + ε^{5}); F_{2}(ε + ε^{2} + ε^{3}) ≃ F_{8}; F_{2}]

Aufgabe 49

(1) Es sind S_{1} = {id} und S_{2} = ⟨(1, 2)⟩ abelsch und somit auflösbar. Die Auflösbarkeit von S_{3} wurde im ersten Beispiel in §4.1 eingesehen. Wir zeigen die Auflösbarkeit von S_{4}. Es ist N := ⟨(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4)⟩ ein abelscher Normalteiler von S_{4}, vgl. Bemerkung zur Vorsicht in §4.1. Sei A := ⟨(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 2, 3)⟩ (^{1}). Laut Magma ist |A| = 12. Sei allgemein G eine endliche Gruppe, und sei H ⩽ G mit 2|H| = |G|. Wir behaupten, daß H ⊴ G. Sei g ∈ G. Zu zeigen ist, daß ^{g}H = gHg^{−1} =^{!} H, i.e. daß gH =^{!} Hg.

1Es ist A = A_{4} der Kern der Signumsabbildung S_{4} \overline{}\{±1\}.

Wir bemerken, daß G = H ⊔ xH = H ⊔ Hx für jedes x ∈ G ∖ H; vgl. Aufgabe 38.(1). Insbesondere ist xH = G ∖ H = Hx.

Ist nun g ∈ H, so ist gH = H = Hg. Ist g ∉ H, so ist gH = G ∖ H = Hg mit der eben gemachten Bemerkung. Dies zeigt die Behauptung.

Insbesondere ist A ⊴ S_{4} . Da N ⊴ S_{4} , ist auch N ⊴ A. Insgesamt also

{id} ⊴ N ⊴ A ⊴ S_{4} .

Wie schon festgestellt, ist N/{id} ≃ N abelsch.

Eine Gruppe von Primzahlordnung p ist zyklisch, und also auch abelsch. Denn ein Element darin hat Ordnung 1 oder p; vgl. Aufgabe 11.(1.c). Also hat jedes Element ≠ 1 darin Ordnung p, und erzeugt daher die Gruppe; vgl. Aufgabe 11.(1.b).

Somit ist A/N zyklisch wegen |A/N| = |A|/|N| = 3 prim; vgl. Lösung zu Aufgabe 38.(1).

Ferner ist S_{4}/A zyklisch wegen |S_{4}/A| = |S_{4}|/|A| = 2 prim; vgl. Lösung zu Aufgabe 38.(1).

Insgesamt ist S_{4} als auflösbar nachgewiesen.

(2) Sei, dem Hinweis folgend, M ⊴ N ⩽ S_{n} mit N/M abelsch gegeben. Wir behaupten, daß wenn N alle Zykel der Länge 3 enthält, so auch M.

Seien x, y ∈ N. Da N/M abelsch ist, wird

(xyx^{−1}y^{−1})M = (xM)(yM)(xM)^{−1}(yM)^{−1}
= (xM)(xM)^{−1}(yM)(yM)^{−1}
= ((xx^{−1})M)((yy^{−1})M)
= 1 · M ,

und also xyx^{−1}y^{−1} ∈ M.

Sei (a, b, c) ein beliebiger Zykel von Länge 3 aus S_{n}. Sei {a, b, c, d, e} ⊆ [1, n] mit |{a, b, c, d, e}| = 5. Dies ist möglich, da n ⩾ 5.

Nach Voraussetzung sind (a, b, d) und (a, c, e) in N. Mit der eben gemachten Bemerkung wird

M ∋ (a, b, d) ∘ (a, c, e) ∘ (a, b, d)^{−1} ∘ (a, c, e)^{−1} = (a, b, c) .

Somit enthält auch M jeden Zykel von Länge 3 aus S_{n}.

Sei nun angenommen, es ist S_{n} auflösbar. Sei

{id} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ ⋯ ⊴ G_{k} = S_{n}

eine Subnormalreihe mit allen Subfaktoren abelsch. Es enthält G_{k} alle Zykel der Länge 3 aus S_{n}. Da nun mit G_{i} auch G_{i−1} jeweils alle Zykel der Länge 3 aus S_{n} enthält, folgt mit absteigender Induktion, daß dies auch für G_{0} = {id} zutrifft. Dies ist ein Widerspruch.

Also existiert in S_{n} keine Subnormalreihe mit allen Subfaktoren abelsch. D.h. S_{n} ist nicht auflösbar.

Aufgabe 50

Sei f̂(X) ∈ K[X] das Produkt über die Menge der irreduziblen normierten Faktoren von f(X) ∈ K[X]. Es ist L auch ein Zerfällungskörper von f̂(X) über K, da mit f(X) auch sein Teiler f̂(X) in L[X] in Linearfaktoren zerfällt, und da jede Nullstelle von f(X) in L auch eine Nullstelle von f̂(X) ist, und somit die Nullstellen des letzteren ebenfalls L über K erzeugen.

Es folgt (deg f)! = n! = [L : K] ⩽ (deg f̂)! ⩽ (deg f)!, also (deg f̂)! = (deg f)!, also deg f̂ = deg f und also f̂(X) = f(X); vgl. Satz 4 aus §2.5.2.

In anderen Worten, f(X) ∈ K[X] zerfällt in ein Produkt verschiedener normierter irreduzibler Faktoren.

Somit können wir die letzte Folgerung aus §3.4.1 anwenden, und stellen fest, daß Gal(f(X)) ^{\overline{}^{∼}} S_{n}. In anderen Worten, für jede Permutation der Nullstellen von f(X) in L gibt es einen Automorphismus von L|K, der zu dieser Permutation einschränkt.

Sei nun angenommen, es ist f(X) = u(X)v(X) mit u(X), v(X) ∈ K[X] normiert und mit deg u, deg v ⩾ 1. Dann gibt es ein y ∈ L mit u(y) = 0 und ein z ∈ L mit v(z) = 0. Da y und z insbesondere beides Nullstellen von f(X) in L sind, gibt es nach dem eben Gesagten ein σ ∈ Aut(L|K) mit σ(y) = z. Also ist u(z) = u(σ(y)) = σ(u(y)) = σ(0) = 0 und v(z) = 0. Somit ist μ_{z,K}(X) ein Teiler von u(X) und von v(X); vgl. Satz 2 aus §2.3.2. Also ist μ_{z,K}(X)^{2} ein Teiler von f(X), und wir haben einen Widerspruch.

Ein alternatives Argument. Die Konstruktion des Zerfällungskörpers liefert nur dann eine Erweiterung von Grad n!, wenn im i-ten Schritt eine Erweiterung von Grad n − i + 1 vorgenommen wird, wobei i ∈ [1, n], denn ansonsten resultiert ein echt kleinerer Grad. Zerfällt nun f(X) in zwei Faktoren von Grad ⩾ 1, so ist schon im ersten Schritt keine Erweiterung um Grad n mehr möglich.

Aufgabe 51

(1) Der Zerfällungskörper von X^{5} + 5X^{2} + 3 ∈ Q[X] ergibt sich mittels Magma zu Q(a, b) mit

\begin{aligned}0 & = & a^{5} + 5a^{2} + 3 \\ 0 & = & b^{2} − \frac{1}{3}(a^{4} + a^{3} + a^{2} + 3a + 3)b − (a − 1) . \end{aligned}

Insbesondere ist [Q(a, b) : Q] = 10, und somit auch | Gal(X^{5} + 5X^{2} + 3)| = 10.

Wir berechnen Gal(X^{5} + 5X^{2} + 3) = ⟨(2, 3)(4, 5), (1, 2, 4, 5, 3)⟩. Der zugehörige Magma-Quelltext :

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^5 + 5*X^2 + 3);
KK<a> := ext<Q | X^5 + 5*X^2 + 3>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^5 + 5*XX^2 + 3);
KKK<b> := ext<KK | XX^2 + 1/3*(-a^4 - a^3 - a^2 - 3*a - 3)*XX - a + 1>;
RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
Factorisation(XXX^5 + 5*XXX^2 + 3);
RBIG<Ga1,Ga2,Y> := PolynomialRing(Q,3);
Ga3 := -Ga2 + 1/3*(Ga1^4 + Ga1^3 + Ga1^2 + 3*Ga1 + 3);
Ga4 := 1/3*(Ga1^4 + 5*Ga1)*Ga2 - 1/3*(Ga1^4 + 5*Ga1);
Ga5 := -1/3*(Ga1^4 + 5*Ga1)*Ga2 - 1/3*(Ga1^3 + Ga1^2 + Ga1 + 3);
ga1 := a;
ga2 := b;
ga3 := Evaluate(Ga3,[ga1,ga2,0]);;
ga4 := Evaluate(Ga4,[ga1,ga2,0]);;
ga5 := Evaluate(Ga5,[ga1,ga2,0]);;
(XXX-ga1)*(XXX-ga2)*(XXX-ga3)*(XXX-ga4)*(XXX-ga5); // zur Probe
muga1 := Y^5 + 5*Y^2 + 3;
muga2 := Y^2 - 1/3*(Ga1^4 + Ga1^3 + Ga1^2 + 3*Ga1 + 3)*Y - (Ga1 - 1);
muga1s:= Evaluate(muga1,[0,0,XXX]);
Factorisation(muga1s); // 12345 (resultierende Nullstellennummern)
muga2s:= Evaluate(muga2,[ga1,0,XXX]);
Factorisation(muga2s); // 23 (resultierende Nullstellennummern)
Evaluate(Ga3,[ga1,ga3,0]); // 2
Evaluate(Ga4,[ga1,ga3,0]); // 5
Evaluate(Ga5,[ga1,ga3,0]); // 4 // (2,3)(4,5)
Order(sub<SymmetricGroup(5) | (2,3)(4,5)>);
// *** Zwischenstand: Ordnung = 2 ***
muga1s:= Evaluate(muga1,[0,0,XXX]);
Factorisation(muga1s); // 12345 (resultierende Nullstellennummern)
muga2s:= Evaluate(muga2,[ga2,0,XXX]);
Factorisation(muga2s); // 14 (resultierende Nullstellennummern)
Evaluate(Ga3,[ga2,ga4,0]); // 1

Evaluate(Ga4,[ga2,ga4,0]); // 5
Evaluate(Ga5,[ga2,ga4,0]); // 3 // (1,2,4,5,3)
Order(sub<SymmetricGroup(5) | (2,3)(4,5), (1,2,4,5,3)>);
// *** Zwischenstand: Ordnung = 10 ***

Sei G := Gal(X^{5} + 5X^{2} + 3) = ⟨(2, 3)(4, 5), (1, 2, 4, 5, 3)⟩. Sei N := ⟨(1, 2, 4, 5, 3)⟩ ⩽ G.

Da |G| = 2|N|, ist N ⊴ G; vgl. Argument in der Lösung zu Aufgabe 49.(1). Betrachte die Subnormalreihe

{id} ⊴ N ⊴ G .

Da die Subfaktoren beide von primer Ordnung sind, namentlich 5 und 2, sind beide Subfaktoren zyklisch, insbesondere abelsch; vgl. Argument in der Lösung zu Aufgabe 49.(1)

Somit ist G auflösbar. Mit dem Satz von Galois aus §4.4.2 ist mithin X^{5}+5X^{2}+3 ∈ Q[X] auflösbar.

(2) Der Zerfällungskörper von X^{5} + 5X^{2} + 2 ∈ Q[X] ergibt sich mittels Magma in der üblichen Weise zu Q(a, b, c, d) mit

\begin{aligned}0 & = & a^{5} + 5a^{2} + 2 \\ 0 & = & b^{4} + ab^{3} + a^{2}b^{2} + (a^{3} + 5)b + (a^{4} + 5a) \\ 0 & = & c^{3} + (b + a)c^{2} + (b^{2} + ab + a^{2})c + (b^{3} + ab^{2} + a^{2}b + (a^{3} + 5)) \\ 0 & = & d^{2} + (c + (b + a))d + (c^{2} + (b + a)c + (b^{2} + ab + a^{2})) . \end{aligned}

Insbesondere ist [Q(a, b, c, d) : Q] = 5 · 4 · 3 · 2 = 5!, und somit Gal(X^{5} + 5X^{2} + 2) = S_{5}; vgl. letzte Folgerung in §3.4.1.

Ferner hat sich im Verlauf dieser Rechnung X^{5} + 5X^{2} + 2 ∈ Q[X] als irreduzibel herausgestellt, was auch mit Aufgabe 50 im nachhinein nochmals bestätigt wird.

Dank Aufgabe 49.(2) ist S_{5} nicht auflösbar. Mit dem Satz von Galois aus §4.4.2 ist mithin X^{5} + 5X^{2} + 2 ∈ Q[X] nicht auflösbar.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html