M. Künzer

Galoistheorie, WS 08/09

Lösung 13

Aufgabe 44

(1) Schreibe Z := {z ∈ L : z^{n} = 1}. Es ist 1 ∈ Z. Sind z, z̃ ∈ Z, so ist auch (zz̃^{−1})^{n} = z^{n}(z̃^{n})^{−1} = 1, also zz̃^{−1} ∈ Z. Also ist Z ⩽ L^{×}.

Es zerfällt X^{n} − 1 in L[X] in Linearfaktoren. Da nun

ggT(X^{n} − 1, (X^{n} − 1)′) = ggT(X^{n} − 1, nX^{n−1}) = 1 (^{1}) ,

enthält diese Produktzerlegung von X^{n}−1 auch n verschiedene Linearfaktoren; vgl. Aufgabe 25.(2). Da aber Z gerade die Nullstellenmenge von X^{n} − 1 in L ist, folgt |Z| = n.

Wir verwenden die Argumente für Aufgabe 27.(5). Sei ζ_{n} ein Element von Z maximaler Ordnung. Es ist o(ζ_{n}) ein Teiler von |Z| = n.

Mit Aufgabe 27.(4) ist o(z) ein Teiler von o(ζ_{n}) für alle z ∈ Z. Also ist z eine Nullstelle von X^{o(ζ_{n})}−1 in L. Da letzteres Polynom mithin n verschiedene Nullstellen in L hat, folgt n ⩽ deg(X^{o(ζ_{n})} − 1) = o(ζ_{n}).

Zusammen ist o(ζ_{n}) = n. Aber dies impliziert |⟨ζ_{n}⟩| = o(ζ_{n}) = n = |Z|, und somit ⟨ζ_{n}⟩ = Z; vgl. Aufgabe 11.(1.b).

Da L = K(z : z ∈ Z) als Zerfällungskörper von X^{n} − 1 ∈ K[X], und da Z = {ζ_{n}^{i} : i ∈ [0, n − 1]}, ist L = K(ζ_{n}).

(2) Zunächst einmal halten wir fest, daß ggT(k, n) = ggT(k + zn, n) für z ∈ Z, und also das Auswahlkriterium für U(Z/nZ), es sei ggT(k, n) = 1, unabhängig vom betrachteten Repräsentanten k ist.

Wir haben zu zeigen, daß das Produkt zweier Elemente von U(Z/nZ) wieder in dieser Menge liegt, daß eine Eins in U(Z/nZ) liegt, und daß zu jedem Element von U(Z/nZ) ein multiplikativ Inverses in U(Z/nZ) vorhanden ist. Dann ist U(Z/nZ) mit der Multiplikation eine Gruppe; abelsch, da Z/nZ ein kommutativer Ring ist.

Seien k + nZ, k̃ + nZ ∈ U(Z/nZ). Dann ist ggT(k, n) = 1 und ggT(k̃, n) = 1, und somit auch ggT(kk̃, n) = 1, i.e. (k + nZ)(k̃ + nZ) ∈ U(Z/nZ).

Es ist 1 + nZ ∈ U(Z/nZ) ein Einselement.

Sei k + nZ ∈ U(Z/nZ). Da ggT(k, n) = 1, gibt es s, t ∈ Z mit sk + tn = 1; vgl. Aufgabe 2. Es ist ggT(s, n) = 1, da ein gemeinsamer Faktor von s und n auch in sk + tn = 1 auftreten würde. Also ist s + nZ ∈ U(Z/nZ). Ferner ist

(s + nZ)(k + nZ) = sk + nZ = (sk + tn) + nZ = 1 + nZ .

Die Elementordnungen in U(Z/12Z) ergeben sich wie folgt. Wir verwenden die Konvention, z für z + 12Z zu schreiben.

\begin{aligned}o(1) & = & 1 \\ o(5) & = & 2 \\ o(−5) & = & 2 \\ o(−1) & = & 2 \end{aligned}

Folglich ist U(Z/12Z) nicht von einem Element erzeugt, denn dieses müßte Ordnung 4 haben; vgl. Aufgabe 11.(1.b).

Ist jedoch p prim, so ist U(Z/pZ) = F_{p}^{×} von einem Element erzeugt, vgl. Aufgabe 27.(5).

1Wofür man char K = 0 benötigt.

(3) Zeigen wir, daß eine wohldefinierte Abbildung Gal(L|K) \overline{}U(Z/nZ), σ \overline{}i_{σ} vorliegt. Zum einen ist zu zeigen, daß aus ζ_{n}^{i} = ζ_{n}^{j} folgt, daß i + nZ = j + nZ; daß also das Element ζ_{n}^{i} die Restklasse des Exponenten i modulo n bestimmt. Nun ist aber o(ζ_{n}) = n in L^{×} nach (1). Aus ζ_{n}^{i} = ζ_{n}^{j}, d.h. aus ζ_{n}^{j−i} = 1 folgt also, daß n = o(ζ_{n}) den Exponenten j − i teilt, d.h. daß j ≡_{n} i. Zum anderen ist zu zeigen, daß ggT(i_{σ}, n) = 1 für σ ∈ Gal(L|K). Nun ist aber

ζ_{n} = σ^{−1}(σ(ζ_{n})) = σ^{−1}(ζ_{n}^{i_{σ}}) = σ^{−1}(ζ_{n})^{i_{σ}} = ζ_{n}^{i_{σ^{−1}} ·i_{σ}}

Folglich ist i_{σ^{−1}} · i_{σ} ≡_{n} 1, i.e. es gibt ein t ∈ Z mit i_{σ^{−1}} · i_{σ} + nt = 1. Somit können i_{σ} und n keinen nichttrivialen gemeinsamen Faktor haben, da dieser auch in 1 aufgehen würde. Zeigen wir, daß ein Gruppenmorphismus vorliegt. Seien σ, ρ ∈ Gal(L|K). Es wird

ζ_{n}^{i_{ρ∘σ}} = (ρ ∘ σ)(ζ_{n}) = ρ(ζ_{n}^{i_{σ}}) = ρ(ζ_{n})^{i_{σ}} = (ζ_{n}^{i_{ρ}})^{i_{σ}} = ζ_{n}^{i_{ρ}·i_{σ}} ,

also i_{ρ∘σ} + nZ = (i_{ρ} + nZ) · (i_{σ} + nZ). Zeigen wir, daß dieser Gruppenmorphismus Gal(L|K) \overline{}U(Z/nZ), σ \overline{}i_{σ} + nZ injektiv ist. Ist i_{σ} ≡_{n} 1, so ist

σ(ζ_{n}) = ζ_{n}^{i_{σ}} = ζ_{n} = id(ζ_{n}) ,

da o(ζ_{n}) = n. Da L = K(ζ_{n}), folgt σ = id_{L}; vgl. dritte Bemerkung aus §3.4.1. Da also Gal(L|K) isomorph zu einer Untergruppe der abelschen Gruppe U(Z/nZ) ist, ist Gal(L|K) insbesondere abelsch.

Aufgabe 45

(1) Ist char K = 0, so ist char L = 0 und somit L perfekt.

Ist char K = p > 0, so ist Frob_{K} : K ^{\overline{}^{∼}} K. Wir haben zu zeigen, daß Frob_{L} : L \overline{}L surjektiv ist. Es ist L ein K-Vektorraum wie üblich. Ferner wird L zu einem K-Vektorraum vermöge der Addition auf L und der skalaren Multiplikation x ∗ y := x^{p}y für x ∈ K und y ∈ L. Schreibe diesen L^{(p)}. In der Tat ist für y, y′ ∈ L und x, x′ ∈ K

\begin{aligned}1 ∗ y & = & 1^{p} · y & = & 1 · y & = & y \\ x ∗ (y + y′) & = & x^{p}(y + y′) & = & x^{p}y + x^{p}y′ & = & x ∗ y + x ∗ y′ \\ (x + x′) ∗ y & = & (x + x′)^{p}y & = & x^{p}y + x^{′p}y & = & x ∗ y + x′ ∗ y \\ (xx′) ∗ y & = & (xx′)^{p}y & = & x^{p}x^{′p}y & = & x ∗ (x′ ∗ y) . \end{aligned}

Sei (y_{1}, …, y_{n}) eine K-Basis von L. Dann ist (y_{1}, …, y_{n}) auch eine K-Basis von L^{(p)}, wie man wie folgt einsieht. Lineare Unabhängigkeit. Aus

x_{1} ∗ y_{1} + ⋯ + x_{n} ∗ y_{n} = 0

für x_{i} ∈ K folgt, daß x_{1}^{p}y_{1} + ⋯ + x_{n}^{p}y_{n} = 0, woraus x_{i}^{p} = 0 stets, woraus, wegen Injektivität von Frob_{K}, x_{i} = 0 stets. Erzeugendensystem. Es gibt für ein gegebenes y Elemente x_{i} ∈ K mit

y = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n} .

Sei x̃_{i}^{p} = x_{i} stets, was wegen Frob_{K} surjektiv möglich ist. Also wird

y = x̃_{1}^{p}y_{1} + ⋯ + x̃_{n}^{p}y_{n} = x̃_{1} ∗ y_{1} + ⋯ + x̃_{n} ∗ y_{n} .

Da nun (y_{1}, …, y_{n}) als K-Basis von L^{(p)} nachgewiesen ist, folgt dim_{K} L^{(p)} = n = dim_{K} L. Nun ist Frob_{L} sicher injektiv. Aufgefaßt als Abbildung von L nach L^{(p)} ist nun Frob_{L} auch K-linear, da

Frob_{L}(xy) = x^{p}y^{p} = x ∗ Frob_{L}(y)

für x ∈ K und y ∈ L. Als injektive Abbildung zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen L und L^{(p)} ist Frob_{L} also auch surjektiv. Somit ist L perfekt.

(2) Es genügt zu zeigen, daß M Zerfällungskörper eines Polynoms in K[X] ist, welches in ein Produkt verschiedener irreduzibler Polynome zerfällt.

Da L|K galoisch ist, ist L Zerfällungskörper eines Polynoms g(X) ∈ K[X], welches in ein Produkt verschiedener irreduzibler Polynome zerfällt; vgl. zweites Lemma in §3.5.1.4.

Sei h(X) := kgV(f(X), g(X)) ∈ K[X]. Mit loc. cit. genügt es zu zeigen, daß M der Zerfällungskörper von h(X) ist.

Sei {γ_{1}, …, γ_{k}} die Nullstellenmenge von g(X) in M. Da g(X) bereits in L[X] in Linearfaktoren zerfällt, ist {γ_{1}, …, γ_{k}} ⊆ L.

Sei {φ_{1}, …, φ_{ℓ}} die Nullstellenmenge von f(X) in M. Die Situation stellt sich so dar.

M = L(φ_{1}, …, φ_{ℓ})

L = K(γ_{1}, …, γ_{k})

K

Es ist {γ_{1}, …, γ_{k}} ∪ {φ_{1}, …, φ_{ℓ}} die Nullstellenmenge von h(X). Es ist M = L(φ_{1}, …, φ_{ℓ}) = K(γ_{1}, …, γ_{k}, φ_{1}, …, φ_{ℓ}). Da sich dieses Erzeugnis durch Weglassen von doppelt aufgeführten Erzeugern nicht ändert, erzeugen die Nullstellen von h(X) in M den Körper M über K.

Um zu zeigen, daß h(X) ∈ M[X] in ein Produkt von Linearfaktoren zerfällt, genügt es zu zeigen, daß jeder normierte irreduzible Faktor u(X) von h(X) in K[X] im größeren Polynomring M[X] in ein Produkt von Linearfaktoren zerfällt.

Wir betrachten also solch ein u(X). Es ist u(X) ein Teiler von f(X) oder von g(X) in K[X] (möglicherweise von beiden).

Teilt u(X) das Polynom f(X), dann zerfällt daher u(X) bereits in L[X] in Linearfaktoren, also auch in M[X].

Teilt u(X) das Polynom g(X), dann zerfällt daher u(X) in M[X] in Linearfaktoren.

Aufgabe 46

(1) Es ergibt sich der Zerfällungskörper von X^{6} + 3X + 3 ∈ Q[X] zu Q(a, b, c, d) mit

0 = a^{6} + 3a + 3
0 = b^{3} + \frac{1}{17}(−6a^{5} + 14a^{4} − 10a^{3} + 12a^{2} + 6a − 15)b^{2}
+\frac{1}{17}(−3a^{5} + 7a^{4} − 5a^{3} + 6a^{2} + 3a − 33)b + \frac{1}{17}(3a^{5} − 7a^{4} + 5a^{3} − 6a^{2} − 3a − 18)
0 = c^{2} + \frac{1}{17}(6a^{5} − 14a^{4} + 10a^{3} − 12a^{2} + 11a + 15)c + \frac{1}{17}(−11a^{5} + 3a^{4} − 7a^{3} + 5a^{2} − 6a − 36)
0 = d^{2} + (b + \frac{1}{17}(−6a^{5} + 14a^{4} − 10a^{3} + 12a^{2} + 6a − 15))d

+(b^{2} + \frac{1}{17}(−6a^{5} + 14a^{4} − 10a^{3} + 12a^{2} + 6a − 15)b + \frac{1}{17}(−3a^{5} + 7a^{4} − 5a^{3} + 6a^{2} + 3a − 33)) .

Insbesondere ist | Gal(X^{6} + 3X + 3)| = [Q(a, b, c, d) : Q] = 2 · 2 · 3 · 6 = 72.

Wir erhalten die Nullstellen

\begin{aligned}γ_{1} & := & a \\ γ_{2} & := & b \\ γ_{3} & := & c \\ γ_{4} & := & d \\ γ_{5} & := & −c − \frac{1}{17}(6a^{5} − 14a^{4} + 10a^{3} − 12a^{2} + 11a + 15) \\ γ_{6} & := & −d − b + \frac{1}{17}(6a^{5} − 14a^{4} + 10a^{3} − 12a^{2} − 6a + 15) \end{aligned}

von X^{6} + 3X + 3 ∈ Q(a, b, c, d)[X].

Wir gehen diesesmal nun nicht systematisch durch die Fälle, Subfälle etc., sondern suchen per Zufallsprinzip Erzeuger der Galoisgruppe, in der Hoffnung, daß das schneller geht. Folgender Magma-Quelltext liefert das Resultat.

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^6 + 3*X + 3);
KK<a> := ext<Q | X^6 + 3*X + 3>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^6 + 3*XX + 3);
KKK<b> := ext<KK | XX^3 + 1/17*(-6*a^5 + 14*a^4 - 10*a^3 + 12*a^2 + 6*a - 15)*XX^2
          + 1/17*(-3*a^5 + 7*a^4 - 5*a^3 + 6*a^2 + 3*a - 33)*XX
          + 1/17*(3*a^5 - 7*a^4 + 5*a^3 - 6*a^2 - 3*a - 18)>;
RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
KKKK<c> := ext<KKK | XXX^2 + 1/17*(6*a^5 - 14*a^4 + 10*a^3 - 12*a^2 + 11*a + 15)*XXX
           + 1/17*(-11*a^5 + 3*a^4 - 7*a^3 + 5*a^2 - 6*a - 36)>;
RRRR<XXXX> := PolynomialRing(KKKK);
Factorisation(XXXX^6 + 3*XXXX + 3);
KKKKK<d> := ext<KKKK | XXXX^2 + (b
            + 1/17*(-6*a^5 + 14*a^4 - 10*a^3 + 12*a^2 + 6*a - 15))*XXXX
            + b^2 + 1/17*(-6*a^5 + 14*a^4 - 10*a^3 + 12*a^2 + 6*a - 15)*b
            + 1/17*(-3*a^5 + 7*a^4 - 5*a^3 + 6*a^2 + 3*a - 33)>;
RRRRR<XXXXX> := PolynomialRing(KKKKK);
Factorisation(XXXXX^6 + 3*XXXXX + 3);
RBIG<Ga1,Ga2,Ga3,Ga4,Y> := PolynomialRing(Q,5);
Ga5 := -Ga3 - 1/17*(6*Ga1^5 - 14*Ga1^4 + 10*Ga1^3 - 12*Ga1^2 + 11*Ga1 + 15);
Ga6 := -Ga4 - Ga2 + 1/17*(6*Ga1^5 - 14*Ga1^4 + 10*Ga1^3 - 12*Ga1^2 - 6*Ga1 + 15);
ga1 := a;
ga2 := b;
ga3 := c;
ga4 := d;
ga5 := Evaluate(Ga5,[ga1,ga2,ga3,ga4,0]);
ga6 := Evaluate(Ga6,[ga1,ga2,ga3,ga4,0]);
(XXXXX-ga1)*(XXXXX-ga2)*(XXXXX-ga3)*(XXXXX-ga4)*(XXXXX-ga5)*(XXXXX-ga6); // zur Probe
muga1 := Y^6 + 3*Y + 3;
muga2 := Y^3 + 1/17*(-6*Ga1^5 + 14*Ga1^4 - 10*Ga1^3 + 12*Ga1^2 + 6*Ga1 - 15)*Y^2
         + 1/17*(-3*Ga1^5 + 7*Ga1^4 - 5*Ga1^3 + 6*Ga1^2 + 3*Ga1 - 33)*Y
         + 1/17*(3*Ga1^5 - 7*Ga1^4 + 5*Ga1^3 - 6*Ga1^2 - 3*Ga1 - 18);
muga3 := Y^2 + 1/17*(6*Ga1^5 - 14*Ga1^4 + 10*Ga1^3 - 12*Ga1^2 + 11*Ga1 + 15)*Y
         + 1/17*(-11*Ga1^5 + 3*Ga1^4 - 7*Ga1^3 + 5*Ga1^2 - 6*Ga1 - 36);
muga4 := Y^2 + (Ga2 + 1/17*(-6*Ga1^5 + 14*Ga1^4 - 10*Ga1^3 + 12*Ga1^2 + 6*Ga1 - 15))*Y
         + Ga2^2 + 1/17*(-6*Ga1^5 + 14*Ga1^4 - 10*Ga1^3 + 12*Ga1^2 + 6*Ga1 - 15)*Ga2
         + 1/17*(-3*Ga1^5 + 7*Ga1^4 - 5*Ga1^3 + 6*Ga1^2 + 3*Ga1 - 33);
muga1s:= Evaluate(muga1,[0,0,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga1s); // 123456 (resultierende Nullstellennummern)
muga2s:= Evaluate(muga2,[ga1,0,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga2s); // 246 (resultierende Nullstellennummern)
muga3s:= Evaluate(muga3,[ga1,ga2,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga3s); // 35
muga4s:= Evaluate(muga4,[ga1,ga2,ga5,0,XXXXX]);
Factorisation(muga4s); // 46
Evaluate(Ga5,[ga1,ga2,ga5,ga4,0]); // 3
Evaluate(Ga6,[ga1,ga2,ga5,ga4,0]); // 6 // (3,5)
Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,5)>);
// *** Zwischenstand: Ordnung = 2 ***
Evaluate(Ga5,[ga1,ga2,ga5,ga6,0]); // 3

Evaluate(Ga6,[ga1,ga2,ga5,ga6,0]); // 4 // (3,5)(4,6)
Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,5), (3,5)(4,6)>);
// Erzeugnis auch = <(3,5), (4,6)>
// *** Zwischenstand: Ordnung = 4 ***
muga1s:= Evaluate(muga1,[0,0,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga1s); // 123456
muga2s:= Evaluate(muga2,[ga1,0,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga2s); // 246
muga3s:= Evaluate(muga3,[ga1,ga4,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga3s); // 35
muga4s:= Evaluate(muga4,[ga1,ga4,ga5,0,XXXXX]);
Factorisation(muga4s); // 26
Evaluate(Ga5,[ga1,ga4,ga5,ga2,0]); // 3
Evaluate(Ga6,[ga1,ga4,ga5,ga2,0]); // 6 // (2,4)(3,5)
Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,5), (4,6), (2,4)(3,5)>);
// Erzeugnis auch = <(3,5),(4,6),(2,4)>
// *** Zwischenstand: Ordnung = 12 ***
muga1s:= Evaluate(muga1,[0,0,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga1s); // 123456 (resultierende Nullstellennummern)
muga2s:= Evaluate(muga2,[ga2,0,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga2s); // 135
muga3s:= Evaluate(muga3,[ga2,ga1,0,0,XXXXX]);
Factorisation(muga3s); // 46
muga4s:= Evaluate(muga4,[ga2,ga1,ga4,0,XXXXX]);
Factorisation(muga4s); // 35
Evaluate(Ga5,[ga2,ga1,ga4,ga3,0]); // 6
Evaluate(Ga6,[ga2,ga1,ga4,ga3,0]); // 5 // (1,2)(3,4)(5,6)
Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,5), (4,6), (2,4), (1,2)(3,4)(5,6)>);
// Erzeugnis auch = <(4,6), (2,4), (1,2)(3,4)(5,6)>
// *** Zwischenstand: Ordnung = 72 ***

Es ergibt sich Gal(X^{6} + 3X + 3) ^{\overline{}^{∼}} ⟨(4, 6), (2, 4), (1, 2)(3, 4)(5, 6)⟩;

(2) Was bislang geschah.

Gemäß Aufgabe 34.(1) ist der Zerfällungskörper von X^{3} + X + 1 ∈ Q[X] gegeben durch Q(a, b) mit a^{3} + a + 1 = 0 und b^{2} + ab + a^{2} + 1 = 0. Insbesondere ist [Q(a, b) : Q] = 6, und Q(a, b)|Q galoisch; cf. zweites Lemma in §3.5.1.4.

Seien γ_{1} := a, γ_{2} = b und γ_{3} := −a − b die Nullstellen von X^{3} + X + 1 in Q(a, b).

Nach §3.4.2.1 (resp. zweiter Folgerung in §3.4.1) ist Gal(X^{3} + X + 1) ^{\overline{}^{∼}} S_{3}. Wir identifizieren entlang diesem Isomorphismus.

Nach Satz 9 (Hauptsatz) entsprechen die gesuchten Zwischenkörper zwischen Q und Q(a, b) den Untergruppen von Gal(X^{3} + X + 1) = Gal(Q(a, b)|Q) = S_{3}.

In Aufgabe 38.(3) wurden die Untergruppen von S_{3} ermittelt wie im folgenden Diagramm angegeben. Hierbei sind Linien von oben nach unten als Inklusion zu lesen.

[figure: {id}; ⟨(1, 2)⟩; ⟨(1, 3)⟩; ⟨(2, 3)⟩; ⟨(1, 2, 3)⟩; S_{3}]

Die Korrespondenz weist nun einer Untergruppe U den Zwischenkörper Fix_{U} Q(a, b) zu. Es sind Fix_{{id}} Q(a, b) = Q(a, b) und Fix_{S_{3}} Q(a, b) = Q; vgl. erste Bemerkung in §3.5.1.4. In Aufgabe 41.(1) wurde eine Q-Basis von Fix_{⟨(1,3)⟩} Q(a, b) zu (1, b, a^{2} + ba + 1) bestimmt. Da −b^{2} = ba + a^{2} + 1, folgt Fix_{⟨(1,3)⟩} Q(a, b) = Q(b). In Aufgabe 41.(2) wurde eine Q-Basis von Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b) zu (1, −a + b + 3a^{2}b) bestimmt. Es folgt Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b) = Q(−a + b + 3a^{2}b). Wir setzen diese Berechnung nun fort. Für ⟨(1, 2)⟩ = {id, (1, 2)} schicken die zugehörigen Automorphismen

[figure: a; id; a; a; (1,2); b; b; b; b; a .]

Wir erhalten folgendes Q-Erzeugendensystem von Fix_{⟨(1,2)⟩} Q(a, b).

( Tr_{⟨(1,2)⟩}(1), Tr_{⟨(1,2)⟩}(a), Tr_{⟨(1,2)⟩}(a^{2}), Tr_{⟨(1,2)⟩}(b), Tr_{⟨(1,3)⟩}(ba), Tr_{⟨(1,3)⟩}(ba^{2}))
= (1 + 1, a + b, a^{2} + b^{2}, b + a, ba + ab, ba^{2} + ab^{2})
= (2, a + b, −ba − 1, a + b, 2ba, 1) .

Dies reduziert sich z.B. zur Q-Basis

(1, a + b, −ba − 1) .

Da nun (a + b)^{2} = −ba − 1, wird Fix_{⟨(1,2)⟩} Q(a, b) = Q(a + b). Für ⟨(2, 3)⟩ = {id, (2, 3)} schicken die zugehörigen Automorphismen

[figure: a; id; a; a; (2,3); a; b; b; b; −a − b .]

Wir erhalten folgendes Q-Erzeugendensystem von Fix_{⟨(2,3)⟩} Q(a, b).

( Tr_{⟨(2,3)⟩}(1), Tr_{⟨(2,3)⟩}(a), Tr_{⟨(2,3)⟩}(a^{2}), Tr_{⟨(2,3)⟩}(b), Tr_{⟨(2,3)⟩}(ba), Tr_{⟨(2,3)⟩}(ba^{2}))
= (1 + 1, a + a, a^{2} + a^{2}, b + (−a − b), ba + (−a − b)a, ba^{2} + (−a − b)a^{2})
= (2, 2a, 2a^{2}, −a, −a^{2}, a + 1)

Dies reduziert sich z.B. zur Q-Basis

(1, a, a^{2}) .

Also wird Fix_{⟨(2,3)⟩} Q(a, b) = Q(a). Wir tragen in das den Untergruppen entsprechende Körperdiagramm die Fixkörper ein. Hierbei sind Linien von unten nach oben als Inklusion zu lesen.

[figure: Q(a, b); Q(a + b); Q(b); Q(a); Q(−a + b + 3a^{2}b); Q]

Aufgabe 47

(1) Mit dem zweiten Lemma aus §3.5.1.4 ist E der Zerfällungskörper eines normierten Polynoms g(X) ∈ K[X], das dort in verschiedene normierte irreduzible Faktoren zerfällt. In E[X] zerfällt g(X) in verschiedene Linearfaktoren; vgl. die zweite Bemerkung in §3.4.1. Also zerfällt g(X) auch in L[X] in verschiedene normierte irreduzible Faktoren. Nun ist E auch Zerfällungskörper von g(X) über L; vgl. zweite Bemerkung aus §2.5.1. Also ist E|L galoisch; vgl. Aufgabe 45.(1) und zweites Lemma aus §3.5.1.4.

(2) Sei q = p^{r} für p prim und r ⩾ 1. Nach dem Lemma aus §2.5.4 ist F_{q^{s}} Zerfällungskörper von X^{q^{s}} −X über F_{p}. Im Beweis zu loc. cit., Teil (1), wurde auch gezeigt, daß X^{q^{s}} − X in F_{q^{s}}[X] in verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Also zerfällt X^{q^{s}} − X in F_{q}[X] in verschiedene irreduzible Faktoren. Nun ist F_{q^{s}} auch Zerfällungskörper von X^{q^{s}} − X über F_{q}; vgl. zweite Bemerkung aus §2.5.1. Also ist F_{q^{s}}|F_{q} galoisch.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html