M. Künzer

Galoistheorie, WS 08/09

Lösung 12

Aufgabe 40

Sei K(a)|K mit μ_{a,K}(X) = f(X). Es ist K(a) Zerfällungskörper von f(X); vgl. Aufgabe 36.(2). Folglich ist |Gal(f(X))| = [K(a) : K] = 2. Auf der anderen Seite ist deg f = 2, und mithin Gal(f(X)) isomorph zu einer Untergruppe von S_{2}. Folglich ist Gal(f(X)) ≃ S_{2}.

Ist speziell K = R und f(X) = X^{2} + 1 ∈ R[X], so folgt S_{2} ≃ Gal(X^{2} + 1) = Gal(R(i)|R) = Gal(C|R).

Aufgabe 41

(1) In der Notation von §3.4.2.1 ist der Zerfällungskörper von X^{3} +X +1 ∈ Q[X] gegeben durch Q(a, b) mit a^{3} + a + 1 = 0 und b^{2} + ab + (a^{2} + 1) = 0. Insbesondere ist

(1, a, a^{2}, b, ba, ba^{2})

eine Q-lineare Basis von Q(a, b).

Es waren γ_{1} = a, γ_{2} = b und γ_{3} = −a − b die Nullstellen von f(X) in Q(a, b).

Das Bild von Gal(Q(a, b)|Q) in S_{3} bezüglich dieser Nullstellennumerierung ist gleich S_{3}.

Es ist ⟨(1, 3)⟩ = {id, (1, 3)}. Die zugehörigen Automorphismen schicken

[figure: a; id; a; a; (1,3); −a − b; b; b; b; b .]

Da Tr_{⟨(1,3)⟩} : Q(a, b) \overline{}Fix_{⟨(1,3)⟩} Q(a, b) eine surjektive Q-lineare Abbildung ist, ist das Bildtupel der Q-Basis (1, a, a^{2}, b, ba, ba^{2}) von Q(a, b) ein Q-Erzeugendensystem von Fix_{⟨(1,3)⟩} Q(a, b). Berechnen wir dieses eintragsweise, so erhalten wir

( Tr_{⟨(1,3)⟩}(1), Tr_{⟨(1,3)⟩}(a), Tr_{⟨(1,3)⟩}(a^{2}), Tr_{⟨(1,3)⟩}(b), Tr_{⟨(1,3)⟩}(ba), Tr_{⟨(1,3)⟩}(ba^{2}))
= (1 + 1, a + (−a − b), a^{2} + (−a − b)^{2}, b + b, ba + b(−a − b), b(a^{2} + (−a − b)^{2}a^{2}))
= (2, −b, 2a^{2} + 2ab + b^{2}, 2b, −b^{2}, b(2a^{2} + 2ab + b^{2}))
= (2, −b, 2a^{2} + 2ab − ab − (a^{2} + 1), 2b, ab + (a^{2} + 1), b(2a^{2} + 2ab − ab − (a^{2} + 1)))
= (2, −b, a^{2} + ba − 1, 2b, a^{2} + ba + 1, b(a^{2} + ab − 1))
= (2, −b, a^{2} + ba − 1, 2b, a^{2} + ba + 1, ba^{2} − a(ab + (a^{2} + 1)) − 1)
= (2, −b, a^{2} + ba − 1, 2b, a^{2} + ba + 1, ba^{2} − ba^{2} − a^{3} − a − 1)
= (2, −b, a^{2} + ba − 1, 2b, a^{2} + ba + 1, 0) .

Dieses Q-Erzeugendensystem kann etwa zur Q-Basis

(1, b, a^{2} + ba + 1)

von Fix_{⟨(1,3)⟩} Q(a, b) umgeformt und ausgedünnt werden. Man erkennt auch, daß

Fix_{⟨(1,3)⟩} Q(a, b) = Q(b) ,

da −b^{2} = ba + a^{2} + 1.

(2) Die allgemeine Situation ist wie in (1).

Es ist ⟨(1, 2, 3)⟩ = {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Die zugehörigen Automorphismen schicken

[figure: a; id; a; a; (1,2,3); b; a; (1,3,2); −a − b; b; b; b; −a − b; b; a .]

Da Tr_{⟨(1,2,3)⟩} : Q(a, b) \overline{}Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b) eine surjektive Q-lineare Abbildung ist, ist das Bildtupel der Q-Basis (1, a, a^{2}, b, ba, ba^{2}) von Q(a, b) ein Q-Erzeugendensystem von Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b). Berechnen wir dieses eintragsweise, so erhalten wir.

( Tr_{⟨(1,3)⟩}(1), Tr_{⟨(1,3)⟩}(a), Tr_{⟨(1,3)⟩}(a^{2}), Tr_{⟨(1,3)⟩}(b), Tr_{⟨(1,3)⟩}(ba), Tr_{⟨(1,3)⟩}(ba^{2}))
= (1 + 1 + 1, a + b + (−a − b), a^{2} + b^{2} + (−a − b)^{2},
b + (−a − b) + a, ba + (−a − b)b + a(−a − b), ba^{2} + (−a − b)b^{2} + a(−a − b)^{2})
= (3, 0, 2a^{2} + 2b^{2} + 2ab, 0, −a^{2} − b^{2} − ab, −b^{3} + a^{3} + 3a^{2}b)
= (3, 0, −2, 0, 1, −a + b + 3a^{2}b)

Dieses Q-Erzeugendensystem kann etwa zur Q-Basis

(1, −a + b + 3a^{2}b)

von Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b) umgeformt und ausgedünnt werden. Man erkennt auch, daß

Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b) = Q(−a + b + 3a^{2}b) (^{1}) .

(3) In der Notation der Lösung zu Aufgabe 34.(2) ist der Zerfällungskörper von X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8 ∈ Q[X] gegeben durch Q(a, b) mit a^{4} + 4a^{2} + 8a + 8 = 0 und b^{3} + ab^{2} + (a^{2} + 4)b + a^{3} + 4a + 8 = 0. Insbesondere ist

(1, a, a^{2}, a^{3}, b, ba, ba^{2}, ba^{3}, b^{2}, b^{2}a, b^{2}a^{2}, b^{2}a^{3})

eine Q-lineare Basis von Q(a, b). Wir verwenden Magma; vgl. auch Lösung zu Aufgabe 39.(1).

Seien

\begin{aligned}γ_{1} & := & a \\ γ_{2} & := & b \\ γ_{3} & := & \frac{1}{28}(2a^{3} − 3a^{2} + 2a + 6)b^{2} + \frac{1}{14}(−3a^{3} + a^{2} − 10a − 16)b + \frac{1}{14}(2a^{3} − 3a^{2} + 2a + 20) \\ γ_{4} & := & \frac{1}{28}(−2a^{3} + 3a^{2} − 2a − 6)b^{2} + \frac{1}{14}(3a^{3} − a^{2} + 10a + 2)b + \frac{1}{14}(−2a^{3} + 3a^{2} − 16a − 20) \end{aligned}

die Nullstellen von X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8 in Q(a, b).

In Magma kann man Tr_{⟨(1,2,3)⟩} (nach Eingabe der benötigten Daten wir in Lösung zu Aufgabe 39.(1)) z.B. wie folgt eingeben.

RBIG<A,B> := PolynomialRing(KKK,2);
Tr := func< u | Evaluate(u,[ga1,ga2]) + Evaluate(u,[ga2,ga3]) + Evaluate(u,[ga3,ga1])>;

Will man damit die Spur von, sagen wir, a^{2}b wissen, muß Tr(A^2*B); eingegeben werden.

Das Resultat notieren wir als Matrix. In den Zeilen stehen die Koeffizienten der Bilder der obigen

1Cf. MinimalPolynomial(b*a^2 + (-a-b)*b^2 + a*(-a-b)^2,Q);, vorausgesetzt, Q(a, b) ist in Magma wie in §3.4.2.1 eingegeben.

Basiselemente von Q(a, b), ausgedrückt in ebendieser Basis.

\frac{1}{28} (^{a^{0}b^{0} a^{1}b^{0} a^{2}b^{0} a^{3}b^{0} a^{0}b^{1} a^{1}b^{1} a^{2}b^{1} a^{3}b^{1} a^{0}b^{2} a^{1}b^{2} a^{2}b^{2} a^{3}b^{2} Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{0}b^{0})  84  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{1}b^{0})  40  32  −6  4  −4 −20  2  −6  6  2  −3  2 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{2}b^{0})  −48  40  −4  12 −40 −32  −8  −4  32  20  −2  6 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{3}b^{0})  −560 −112  0  0  0  56 −28  28  0  0  14  0 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{0}b^{1})  40  32  −6  4  −4 −20  2  −6  6  2  −3  2 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{1}b^{1})  −64 −40  4 −12  40  32  8  4 −32 −20  2  −6 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{2}b^{1})  −48 −16 −32 −16 128  24  20  −4 −80 −64  −2  −8 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{3}b^{1})  96 −192 −48  32 −32  64 −96  64  48  16  32  16 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{0}b^{2})  −48  40  −4  12 −40 −32  −8  −4  32  20  −2  6 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{1}b^{2})  176 −16  80 −16 −96  24  20  −4  32  48  −2  −8 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{2}b^{2})  288  96 −32 −16 128 −32  48 −32 −80 −64 −16  −8 Tr_{⟨(1,2,3)⟩}(a^{3}b^{2})  512  320 −368  96 352 −256 −64 −32 −80 −176 −16  48} )

In Magma kann man Matrizen mit Einträgen in Q wie folgt eingeben. Der Quelltext

Q := Rationals();
M := RMatrixSpace(Q,2,3)!Matrix([[1,2,3],[4,5,6]]);

z.B. liefert die 2 × 3-Matrix M = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) ∈ Q^{2×3}.

Unsere 12 × 12-Matrix kann unter Zuhilfenahme von Magma via EchelonForm(M); zeilenweise umgeformt werden zu

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 & 0 & −4 & 2 & −2 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & −4 & 2 & 0 & −4 & −2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Wir erhalten als Q-Basis von Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b)

(1, 8a − 4ab + 2a^{2}b − 2a^{3}b − a^{2}b^{2}, a^{2} − 2b + b^{2} + ab^{2}, 4a − 4a^{2} + 2a^{3} − 4ab − 2a^{2}b + 2b^{2} + a^{3}b^{2}) .

Da MinimalPolynomial(a^2 - 2b + b^2 + a b^2,Q); das Minimalpolynom des dritten Basiselements über Q zu X^{4} + 8X^{3} + 80X^{2} − 192 ∗ X + 128 ∋ Q[X] liefert, ist in der Tat

Fix_{⟨(1,2,3)⟩} Q(a, b) = Q(a^{2} − 2b + b^{2} + ab^{2}) .

(4) Sei F_{16} = F_{4}(δ) mit δ^{4} + δ + 1 = 0; vgl. Lösung zu Aufgabe 24.(4). Es ist F_{16} der Zerfällungskörper von X^{16} − X; vgl. §2.5.4. Es ist o(Frob_{F_{16}}) = 4, also ⟨Frob_{F_{16}}^{2}⟩ = {Frob_{F_{16}}^{0}, Frob_{F_{16}}^{2}}.

Die F_{2}-Basis (1, δ, δ^{2}, δ^{3}) von F_{16} wird also abgebildet auf

( Tr_{⟨Frob_{F_{16}}^{2} ⟩}(1), Tr_{⟨Frob_{F_{16}}^{2} ⟩}(δ), Tr_{⟨Frob_{F_{16}}^{2} ⟩}(δ^{2}), Tr_{⟨Frob_{F_{16}}^{2} ⟩}(δ^{3}))
= (1 + 1, δ + δ^{4}, δ^{2} + δ^{8}, δ^{3} + δ^{1}2)
= (0, 1, 1, δ^{2} + δ + 1) .

Vgl. Lösung zu Aufgabe 27.(6). Dies kann zur Basis

(1, δ^{2} + δ)

von Fix_{⟨Frob_{F_{16}}^{2} ⟩} F_{4} umgeformt werden. Vgl. auch das Ergebnis von Aufgabe 24.(4).

Es fällt auf, daß in allen betrachteten Beispielen [L : Fix_{U} L] = |U| ist. Wir werden dies noch allgemein bestätigen; cf. Satz 8.(1).

Aufgabe 42

(1) Für die Wohldefiniertheit der Multiplikation ist zu zeigen, daß im Falle gN = g′N und g̃N = g̃′N auch (g · g̃)N = (g′ · g̃′)N ist, wobei g, g′, g̃, g̃′ ∈ G.

In der Tat ist dann g′ = gn und g̃′ = g̃ñ für gewisse n, ñ ∈ N, und es wird

g′g̃′ = gng̃ñ = gg̃ \underbrace{\underbrace{g̃^{−1}ng̃}_{∈N} ñ}_{∈N} ,

mithin g′g̃′N = gg̃N.

Die Gruppeneigenschaften wie Assoziativität, Einselement 1_{G}N und Inverses g^{−1}N zu gN ∈ G/N vererben sich nun alle aus denen für G.

(2) Für die Wohldefiniertheit ist zu zeigen, daß aus g Kern f = g′ Kern f auch f(g) = f(g′) folgt, wobei g, g′ ∈ G. In der Tat haben wir diesenfalls g′ = gn für ein n ∈ Kern f. Es wird f(g′) = f(gn) = f(g)f(n) = f(g) · 1_{H} = f(g).

Nach Konstruktion liegt nun ein surjektiver Gruppenmorphismus G/N \overline{}Im f , g Kern f \overline{}f(g) vor.

Für die Injektivität ist zu zeigen, daß sein Kern gleich \{1_{G}\} ist. Sei g ∈ G so, daß g Kern f \overline{}f(g) = 1_{H}. Dann ist g ∈ Kern f, i.e. g Kern f = 1_{G} Kern f.

(3) Nach Aufgaben 38.(1.c), 37.(2) ist |Im f| ein Teiler von |H|. Nach Aufgabe 37.(5) ist insbesondere N ⩽ G. Die Lösung zur Aufgaben 38.(1.c) zeigt nun, daß |G| = |N||G/N| – in der Tat kann G in |G/N| Teilmengen der Kardinalität |N| disjunkt zerlegt werden. Mit (2) ist also |Im f| = |G/N| ein Teiler von |G|.

Aufgabe 43

(1) Sei σ ∈ S_{n}. Wir behaupten, daß es genau einen Automorphismus σ̂ von K(T_{1}, …, T_{n}) mit σ̂(T_{i}) = T_{σ(i)} für i ∈ [1, n] und σ̃|_{K}^{K} = id_{K} gibt, sowie, daß für σ, ρ ∈ S_{n} gilt, daß { \atop ρ ∘ σ} = ρ̂ ∘ σ̂.

Nach der Gebrauchsanweisung für Polynomringe gibt es genau einen Ringmorphismus

σ̃ : K[T_{1}, …, T_{n}] \overline{}K[T_{1}, …, T_{n}]

mit σ(T_{i}) = T_{σ(i)} für i ∈ [1, n] und σ̃|_{K} gleich der Einbettung K ^{\overline{}^{c}} K[T_{1}, …, T_{n}], i.e. σ̃|_{K}^{K} = id_{K}; vgl. §1.6.2.

Nach der Gebrauchsanweisung für Quotientenkörper, angewandt auf das Kompositum

K[T_{1}, …, T_{n}] ^{\overline{}^{σ̃}} K[T_{1}, …, T_{n}] ^{\overline{}^{λ}} K(T_{1}, …, T_{n}) ,

gibt es genau einen Ringmorphismus – dann auch Körpermorphismus –

σ̂ : K(T_{1}, …, T_{n}) ^{\overline{}^{σ̂}} K(T_{1}, …, T_{n})

mit σ̂ ∘ λ = λ ∘ σ̃.

\xymatrix{K[T_{1}, …, T_{n}] \ar[r]^{σ̃} \ar[d]_{λ} & K[T_{1}, …, T_{n}] \ar[d]^{λ} \\ K(T_{1}, …, T_{n}) \ar[r]^{σ̂} & K(T_{1}, …, T_{n}) .}

Insgesamt gibt es genau einen Körpermorphismus K(T_{1}, …, T_{n}) ^{\overline{}^{σ̂}} K(T_{1}, …, T_{n}) mit mit σ̂(T_{i}) = T_{σ(i)} für i ∈ [1, n].

Seien nun σ, ρ ∈ S_{n} gegeben. Es ist { \atop ρ ∘ σ} der einzige Körpermorphismus von K(T_{1}, …, T_{n}) in sich mit

{ \atop ρ ∘ σ}(T_{i}) = T_{{ \atop ρ∘σ}(i)} = T_{(ρ(σ(i))}

für i ∈ [1, n]. Nun ist aber auch für den Körpermorphismus ρ̂ ∘ σ̂ von K(T_{1}, …, T_{n}) in sich

(ρ̂ ∘ σ̂)(T_{i}) = ρ̂(σ̂(T_{i})) = ρ̂(T_{σ(i)}) = T_{ρ(σ(i))}

für i ∈ [1, n]. Also ist { \atop ρ ∘ σ} = ρ̂ ∘ σ̂.

Beachte noch, daß îd = id, da die Identität die verlangte Eigenschaft id(T_{i}) = T_{i} = T_{id(i)} hat.

Insbesondere zeigt σ̂^{−1}∘σ̂ = { \atop σ^{−1} ∘ σ} = îd = id, daß σ̂ auch surjektiv und damit ein Automorphismus von K(T_{1}, …, T_{n}) ist.

Dies zeigt die Behauptung.

Damit haben wir einen Gruppenmorphismus S_{n} \overline{}Aut (K(T_{1}, …, T_{n})|K), σ \overline{}σ̂, definiert. Dieser ist injektiv, da σ̂ = id insbesondere zu T_{σ(i)} = σ̂(T_{i}) = T_{i} für i ∈ [1, n] führt, und somit zu σ = id.

Die angesprochene Identifikation bedeutet in der Praxis, daß wir fürderhin einfach wieder σ statt σ̂ schreiben.

(2) Wir setzen

u(X) := +s_{n}X^{n} − s_{n−1}X^{n−1} + ⋯ ± s_{1}X ∓ s_{0} := (X − T_{1})(X − T_{2}) ⋯ (X − T_{n}) ∈ E[X] .

In anderen Worten, es ist s_{i} die Summe aus allen Produkten aus n − i verschiedenen Faktoren aus {T_{1}, …, T_{n}}, wobei i ∈ [0, n].

Z.B. wird für n = 3

\begin{aligned}s_{0} & = & T_{1}T_{2}T_{3} \\ s_{1} & = & T_{1}T_{2} + T_{1}T_{3} + T_{2}T_{3} \\ s_{2} & = & T_{1} + T_{2} + T_{3} \\ s_{3} & = & 1 . \end{aligned}

(3) Ist σ ∈ S_{n}, so wird, in der Notation der Lösung zu (2),

u^{σ}(X) =^{1.} ((X − T_{1})(X − T_{2}) ⋯ (X − T_{n}))^{σ}
= (X − T_{1})^{σ}(X − T_{2})^{σ} ⋯ (X − T_{n})^{σ}
= (X − σ(T_{1}))(X − σ(T_{2})) ⋯ (X − σ(T_{n}))
= (X − T_{σ(1)})(X − T_{σ(2)}) ⋯ (X − T_{σ(n)})
= (X − T_{1})(X − T_{2}) ⋯ (X − T_{n})
= u(X)
= +s_{n}X^{n} − s_{n−1}X^{n−1} + ⋯ ± s_{1}X ∓ s_{0}
=^{2.} (+s_{n}X^{n} − s_{n−1}X^{n−1} + ⋯ ± s_{1}X ∓ s_{0})^{σ}
= +σ(s_{n})X^{n} − σ(s_{n−1})X^{n−1} + ⋯ ± σ(s_{1})X ∓ σ(s_{0}) .

Koeffizientenvergleich gibt σ(s_{i}) = s_{i} für i ∈ [0, n]. Ist

Beachte, daß L ein Teilkörper von E ist, da L das Element 1_{E} enthält, und da Differenz und Quotient zweier Elemente von L wieder in L liegen, wobei bei der Quotientenbildung der Nenner ungleich 0 sei.

Ist \frac{f(s_{0},...,s_{n−1})}{g(s_{0},...,s_{n−1})} wie in der Aufgabenstellung ein beliebig gewähltes Element aus L, und ist σ ∈ S_{n}, so wird

σ(\frac{f(s_{0},...,s_{n−1})}{g(s_{0},...,s_{n−1})}) = \frac{σ(f(s_{0},...,s_{n−1}))}{σ(g(s_{0},...,s_{n−1}))} = \frac{f(σ(s_{0}),...,σ(s_{n−1})))}{g(σ(s_{0}),...,σ(s_{n−1})))} = \frac{f(s_{0},...,s_{n−1})}{g(s_{0},...,s_{n−1})} .

Also ist σ|_{L}^{L} = id_{L}.

Da dies für alle σ ∈ S_{n} gilt, ist L ⊆ Fix_{S_{n}} E.

Mit der Folgerung zu Satz 7 (Dedekinds Lemma) ist also [E : L] ⩾ [E : Fix_{S_{n}} E] ⩾ |S_{n}| = n!.

(4) Sei i ∈ [1, n]. Betrachte

g_{i}(X) := (X − T_{i}) ⋯ (X − T_{n}) = \frac{u(X)}{(X − T_{1}) ⋯ (X − T_{i−1})} ∈ E(X) .

Ersterer Ausdruck zeigt, daß g_{i}(X) ∈ E[X] liegt. Insbesondere geht die Polynomdivision von u(X) durch (X − T_{1}) ⋯ (X − T_{i−1}) auf. Nun liegen aber u(X) ∈ L[X] ⊆ L(T_{1}, …, T_{i−1})[X] und (X − T_{1}) ⋯ (X − T_{i−1}) ∈ L(T_{1}, …, T_{i−1})[X]. Der Polynomdivisionsalgorithmus zeigt nun, daß auch der Quotient g_{i}(X) in L(T_{1}, …, T_{i−1})[X] liegt.

Es ist also g_{i}(X) ein normiertes Polynom mit Nullstelle T_{i}. Insbesondere ist T_{i} algebraisch über L(T_{1}, …, T_{i−1}). Ferner ist μ_{T_{i}, L(T_{1},...,T_{i−1})}(X) ein Teiler von g_{i}(X); vgl. Satz 2.(2), §2.3.2. Mit loc. cit. ist auch

[L(T_{1}, …, T_{i−1}, T_{i}) : L(T_{1}, …, T_{i−1})] = deg μ_{T_{i}, L(T_{1},...,T_{i−1})} ⩽ deg g_{i} = n − i + 1 .

Beachte schließlich, daß L(T_{1}, …, T_{n}) = E. In der Tat ist jedes Polynom in T_{1}, …, T_{n} mit Koeffizienten in K in der linken Seite enthalten. Ist ein solches Polynom ungleich null, so ist, da L(T_{1}, …, T_{n}) ein Teilkörper von E ist, also auch sein Inverses in L(T_{1}, …, T_{n}). Damit ist auch jedes beliebige Element von E, das sich ja als Bruch zweier solcher Polynome mit Nenner ungleich null schreiben läßt, in L(T_{1}, …, T_{n}).

In der Produktzerlegung

[E : L] = [L(T_{1}) : L] ⋯ [L(T_{1}, T_{2}) : L(T_{1})] ⋯ [L(T_{1}, …, T_{n}) : L(T_{1}, …, T_{n−1})]

ist der i-te Faktor ⩽ n − i + 1, wohingegen das Produkt ⩾ n! = ∏_{i∈[1,n]}(n − i + 1) ist. Mithin ist der i-te Faktor

[L(T_{1}, …, T_{i−1}, T_{i}) : L(T_{1}, …, T_{i−1})] = n − i + 1

für i ∈ [1, n]. Somit ist μ_{T_{i}, L(T_{1},...,T_{i−1})}(X) = g_{i}(X) = (X − T_{i}) ⋯ (X − T_{n}) für i ∈ [1, n]; vgl. Satz 2.(2).

Eine L-lineare Basis von E ist also etwa gegeben durch

(T_{1}^{α_{1}} ⋯ T_{n}^{α_{n}} : α_{i} ∈ [0, n − i] für i ∈ [1, n]) .

In der Tat folgt aus Gradgründen auch L(T_{1}, …, T_{n−1}) = E. Dies sieht man auch direkt ein, denn T_{n} = s_{n−1} − (T_{1} + ⋯ + T_{n−1}).

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html