M. Künzer

Galoistheorie, WS 08/09

Lösung 11

Aufgabe 37

(1) Zum einen ist 1_{H} = f(1_{G}) ∈ f(U). Seien zum anderen x, y ∈ f(U) gegeben. Schreibe x = f(u) und y = f(v) mit u, v ∈ U. Es wird

xy^{−1} = f(u)f(v)^{−1} = f(uv^{−1}) ∈ f(U) .

(2) Da G ⩽ G, können wir (1) anwenden und erhalten Im f = f(G) ⩽ H.

(3) Mit (2) ist Im f ⩽ G, und insbesondere Im f eine Gruppe, mit von H vererbter Multiplikation. Da f ein Gruppenmorphismus ist, gilt dies auch für f|^{Im f}. Da nun nach Voraussetzung f injektiv ist, ist f|^{Im f} bijektiv. Insgesamt ist f|^{Im f} also ein Gruppenisomorphismus.

(4) Zeigen wir zunächst, daß aus N ⩽ H folgt, daß f^{−1}(N) ⩽ G. Zum einen ist f(1_{G}) = 1_{H} ∈ N, also 1_{G} ∈ f^{−1}(N). Seien zum anderen x, y ∈ f^{−1}(N), d.h. f(x), f(y) ∈ N. Dann ist

f(xy^{−1}) = f(x)f(y)^{−1} ∈ N ,

also xy^{−1} ∈ f^{−1}(N).

Zeigen wir nun, daß aus N ⊴ H noch folgt, daß f^{−1}(N) ⊴ G.

Sei g ∈ G. Wir behaupten, daß ^{g}f^{−1}(N) ⊆ f^{−1}(N). Sei hierzu x ∈ f^{−1}(N), d.h. f(x) ∈ N. Dann wird

f(^{g}x) = f(gxg^{−1}) = f(g)f(x)f(g)^{−1} = ^{f(g)}f(x) ∈ N ,

da N ⊴ H, also ^{g}x ∈ f^{−1}(N). Dies zeigt die Behaupptung.

Diese Behauptung auf g^{−1} statt g angewandt liefert ^{g^{−1}}f^{−1}(N) ⊆ f^{−1}(N). Diese Inklusionsbeziehung auf beiden Seiten von links mit g konjugiert gibt

f^{−1}(N) = ^{g}(^{g^{−1}}f^{−1}(N)) ⊆ ^{g}f^{−1}(N) .

Insgesamt also ^{g}f^{−1}(N) = f^{−1}(N).

(5) Da {1_{H}} ⊴ H, können wir (4) anwenden und erhalten Kern f = {g ∈ G : f(g) = 1_{H}} = f^{−1}({1_{H}}) ⊴ G.

Aufgabe 38 (Satz von Lagrange in (1.c))

(1) Sei U ⩽ G. Die Voraussetzung |G| endlich werden wir erst im Teil (c) brauchen.

(a) Seien b, b′ ∈ G. Sei bU ∩ b′U ≠ ∅. Zu zeigen ist, daß bU = b′U. Durch Rollenvertauschung von b und b′ genügt es zu zeigen, daß bU ⊆ b′U. Sei also x ∈ bU ∩ b′U. Schreibe x = bu = b′v mit u, v ∈ U. Sei y ∈ bU. Wir haben zu zeigen, daß y ∈ b′U. Schreibe y = bw mit w ∈ U. In der Tat wird

y = bw = b′ \underbrace{vu^{−1}w}_{∈U} ∈ b′U .

(b) Die Abbildungen U \overline{}bU, u \overline{}bu und bU \overline{}U, x \overline{}b^{−1}x invertieren sich wechselseitig, da

u \overline{}bu \overline{}b^{−1}bu = u

und

x \overline{}b^{−1}x \overline{}bb^{−1}x = x .

Insbesondere ist U \overline{}bU, u \overline{}bu eine Bijektion.

(c) Sei nun |G| endlich. Mit (a) ist G eine disjunkte Vereinigung von Teilmengen der Form bU für gewisse b ∈ G. Mit (b) haben alle Teilnehmer dieser disjunkten Vereinigung die Kardinalität |U|. Also ist |U| ein Teiler von |G|.

(2) Es ist (1, 3) ∘ (1, 3, 4) = (3, 4). Es ist (1, 6, 3) ∘ (2, 4, 3, 5) ∘ (2, 4) = (1, 6, 3, 5, 2).

(3) Nichtnormale Untergruppen :

⟨(1, 2)⟩, ⟨(1, 3)⟩, ⟨(2, 3)⟩ ⩽ S_{3} .

Normale Untergruppen :

{id}, ⟨(1, 2, 3)⟩, S_{3} ⊴ S_{3} .

Man erhält die komplette Liste durch sukzessives Hinzufügen von Erzeugenden. Auf diese Weise kann man die Untergruppen erhalten, die minimal über einer gegebenen Untergruppe liegen, d.h. so, daß echt dazwischen keine weitere liegt.

So z.B. erkennt man (von Hand oder via Magma), daß für jedes Element x ∈ S_{3} ∖ {(1, 2)} gilt, daß bereits ⟨(1, 2), x⟩ = S_{3}. Also kann es echt zwischen ⟨(1, 2)⟩ und S_{3} keine weiteren Untergruppen mehr geben.

Schließlich prüft man die erhaltene Liste von Untergruppen auf Normalität durch.

 (4) Mittels Order(sub<SymmetricGroup(12) | (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), (1,3)>); erhalten wir

die Ordnung der angegebenen Untergruppe

|⟨(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (1, 3)⟩| = 1036800 .

Ferner ist

|S_{12}| = 12! = 479001600

Und in der Tat ist 479001600/1036800 = 462.

Aufgabe 39

(1) In Aufgabe 34.(2) wurde der Zerfällungskörper Q(a, b) konstruiert, mit

\begin{aligned}μ_{a,Q}(X) & = & X^{4} + 4X^{2} + 4X + 8 \\ μ_{b,Q(a)}(X) & = & X^{3} + aX^{2} + (a^{2} + 4)X + (a^{3} + 4a + 8) . \end{aligned}

Insbesondere war [Q(a, b) : Q] = 12 festgestellt worden. Es zerfiel

X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8
= (X − a) · (X − b)·

·(X + \frac{1}{28}(−2a^{3} + 3a^{2} − 2a − 6)b^{2} + \frac{1}{14}(3a^{3} − a^{2} + 10a + 16)b + \frac{1}{14}(−2a^{3} + 3a^{2} − 2a − 20))· ·(X + \frac{1}{28}(2a^{3} − 3a^{2} + 2a + 6)b^{2} + \frac{1}{14}(−3a^{3} + a^{2} − 10a − 2)b + \frac{1}{14}(2a^{3} − 3a^{2} + 16a + 20)) .

An den für all dies notwendig gewesenen Magma-Quelltext hängen wir noch die Definitionen

\begin{aligned}γ_{1} & := & a \\ γ_{2} & := & b \\ γ_{3} & := & \frac{1}{28}(2a^{3} − 3a^{2} + 2a + 6)b^{2} + \frac{1}{14}(−3a^{3} + a^{2} − 10a − 16)b + \frac{1}{14}(2a^{3} − 3a^{2} + 2a + 20) \\ γ_{4} & := & \frac{1}{28}(−2a^{3} + 3a^{2} − 2a − 6)b^{2} + \frac{1}{14}(3a^{3} − a^{2} + 10a + 2)b + \frac{1}{14}(−2a^{3} + 3a^{2} − 16a − 20) \end{aligned}

an.

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^4 + 4*X^2 + 8*X + 8);
KK<a> := ext<Q | X^4 + 4*X^2 + 8*X + 8>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^4 + 4*XX^2 + 8*XX + 8);
KKK<b> := ext<KK | XX^3 + a*XX^2 + (a^2 + 4)*XX + a^3 + 4*a + 8>;

RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
Factorisation(XXX^4 + 4*XXX^2 + 8*XXX + 8);
ga1 := a;
ga2 := b;
ga3 := 1/28*(2*a^3 - 3*a^2 + 2*a + 6)*b^2 + 1/14*(-3*a^3 + a^2 - 10*a - 16)*b
       + 1/14*(2*a^3 - 3*a^2 + 2*a + 20);
ga4 := 1/28*(-2*a^3 + 3*a^2 - 2*a - 6)*b^2 + 1/14*(3*a^3 - a^2 + 10*a + 2)*b
       + 1/14*(-2*a^3 + 3*a^2 - 16*a - 20);

Es ist m = 2 und n = 4. Bestimmen wir das Bild von Gal(X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8) in S_{4}.

[figure: Q(a, b); σ_{2}; ∼; Q(γ′_{1}, γ′_{2}); Q(a); σ_{1}; ∼; Q(γ′_{1}); Q; Q]

Nullstellen bedeute im folgenden stets Nullstellen in Q(a, b).

Die Nullstellen von

μ_{a,Q}(X) = X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8

sind γ_{1}, γ_{2}, γ_{3} und γ_{4} (^{1}). Unter diesen haben wir ein γ′_{1} auszuwählen.

Fall γ′_{1} = γ_{1}. Es ist

μ_{b,Q(a)}^{σ_{1}}(X) = X^{3} + γ_{1}X^{2} + (γ_{1}^{2} + 4)X + (γ_{1}^{3} + 4γ_{1} + 8) ,

welches die Nullstellen γ_{2}, γ_{3} und γ_{4} hat (^{2}). Unter diesen haben wir ein γ′_{2} auszuwählen.

Subfall γ′_{2} = γ_{2}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{2}). Es werden

σ_{2}(γ_{3}) = \frac{1}{28}(2γ_{1}^{3} − 3γ_{1}^{2} + 2γ_{1} + 6)γ_{2}^{2} + \frac{1}{14}(−3γ_{1}^{3} + γ_{1}^{2} − 10γ_{1} − 16)γ_{2} + \frac{1}{14}(2γ_{1}^{3} − 3γ_{1}^{2} + 2γ_{1} + 20)
= γ_{3}
σ_{2}(γ_{4}) = \frac{1}{28}(−2γ_{1}^{3} + 3γ_{1}^{2} − 2γ_{1} − 6)γ_{2}^{2} + \frac{1}{14}(3γ_{1}^{3} − γ_{1}^{2} + 10γ_{1} + 2)γ_{2} + \frac{1}{14}(−2γ_{1}^{3} + 3γ_{1}^{2} − 16γ_{1} − 20)
= γ_{4}

Insgesamt σ̄_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}) = id. Das war klar, denn schickt man γ_{1} auf γ_{1} und γ_{2} auf γ_{2}, so erhält man die Identität. Der Systematik halber haben wir es vollständig angeführt.

Zwischenstand : |⟨id⟩| = 1 < 12.

Subfall γ′_{2} = γ_{3}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{3}). Es werden

σ_{2}(γ_{3}) = \frac{1}{28}(2γ_{1}^{3} − 3γ_{1}^{2} + 2γ_{1} + 6)γ_{3}^{2} + \frac{1}{14}(−3γ_{1}^{3} + γ_{1}^{2} − 10γ_{1} − 16)γ_{3} + \frac{1}{14}(2γ_{1}^{3} − 3γ_{1}^{2} + 2γ_{1} + 20)
= γ_{4}
σ_{2}(γ_{4}) = \frac{1}{28}(−2γ_{1}^{3} + 3γ_{1}^{2} − 2γ_{1} − 6)γ_{3}^{2} + \frac{1}{14}(3γ_{1}^{3} − γ_{1}^{2} + 10γ_{1} + 2)γ_{3} + \frac{1}{14}(−2γ_{1}^{3} + 3γ_{1}^{2} − 16γ_{1} − 20)
= γ_{2} ,

wobei Magma für den letzten Schritt hilft (^{3}).

1Factorisation(XXX^4 + 4*XXX^2 + 8*XXX + 8);

2Factorisation(XXX^3 + ga1*XXX^2 + (ga1^2 + 4)*XXX + (ga1^3 + 4*ga1 + 8));

3Man kann wie folgt vorgehen.

R2<Ga1,Ga2> := PolynomialRing(KKK,2); Ga3 := 1/28*(2*Ga1^3 - 3*Ga1^2 + 2*Ga1 + 6)*Ga2^2 + 1/14*(-3*Ga1^3 + Ga1^2 - 10*Ga1 - 16)*Ga2

+ 1/14*(2*Ga1^3 - 3*Ga1^2 + 2*Ga1 + 20); Ga4 := 1/28*(-2*Ga1^3 + 3*Ga1^2 - 2*Ga1 - 6)*Ga2^2 + 1/14*(3*Ga1^3 - Ga1^2 + 10*Ga1 + 2)*Ga2

+ 1/14*(-2*Ga1^3 + 3*Ga1^2 - 16*Ga1 - 20); Evaluate(Ga3,[ga1,ga3]); Evaluate(Ga4,[ga1,ga3]); Evaluate(Ga3,[ga1,ga3]) eq ga4;

Insgesamt σ̄_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix}) = (2, 3, 4).

Zwischenstand : |⟨(2, 3, 4)⟩| = 3 < 12.

Subfall γ′_{2} = γ_{4}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{4}). Es werden

σ_{2}(γ_{3}) = \frac{1}{28}(2γ_{1}^{3} − 3γ_{1}^{2} + 2γ_{1} + 6)γ_{4}^{2} + \frac{1}{14}(−3γ_{1}^{3} + γ_{1}^{2} − 10γ_{1} − 16)γ_{4} + \frac{1}{14}(2γ_{1}^{3} − 3γ_{1}^{2} + 2γ_{1} + 20)
= γ_{2}
σ_{2}(γ_{4}) = \frac{1}{28}(−2γ_{1}^{3} + 3γ_{1}^{2} − 2γ_{1} − 6)γ_{4}^{2} + \frac{1}{14}(3γ_{1}^{3} − γ_{1}^{2} + 10γ_{1} + 2)γ_{4} + \frac{1}{14}(−2γ_{1}^{3} + 3γ_{1}^{2} − 16γ_{1} − 20)
= γ_{3}

Insgesamt σ̄_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) = (2, 4, 3).

Zwischenstand : |⟨(2, 3, 4), (2, 4, 3)⟩| = 3 < 12. Es kann (2, 4, 3) weiters wieder entfallen.

Fall γ′_{1} = γ_{2}. Es ist

μ_{b,Q(a)}^{σ_{2}}(X) = X^{3} + γ_{2}X^{2} + (γ_{2}^{2} + 4)X + (γ_{2}^{3} + 4γ_{2} + 8) ,

welches die Nullstellen γ_{1}, γ_{3} und γ_{4} hat (^{4}). Unter diesen haben wir ein γ′_{2} auszuwählen.

Subfall γ′_{2} = γ_{1}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{2}, γ_{1}). Es werden

σ_{2}(γ_{3}) = \frac{1}{28}(2γ_{2}^{3} − 3γ_{2}^{2} + 2γ_{2} + 6)γ_{1}^{2} + \frac{1}{14}(−3γ_{2}^{3} + γ_{2}^{2} − 10γ_{2} − 16)γ_{1} + \frac{1}{14}(2γ_{2}^{3} − 3γ_{2}^{2} + 2γ_{2} + 20)
= γ_{4}
σ_{2}(γ_{4}) = \frac{1}{28}(−2γ_{2}^{3} + 3γ_{2}^{2} − 2γ_{2} − 6)γ_{1}^{2} + \frac{1}{14}(3γ_{2}^{3} − γ_{2}^{2} + 10γ_{2} + 2)γ_{1} + \frac{1}{14}(−2γ_{2}^{3} + 3γ_{2}^{2} − 16γ_{2} − 20)
= γ_{3}

Insgesamt σ̄_{2} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{matrix}) = (1, 2)(3, 4).

Zwischenstand : |⟨(2, 3, 4), (1, 2)(3, 4)⟩| = 12 (^{5}).

Abbruch der Fallunterscheidungen, da fertig! Als Ergebnis erhalten wir das isomorphe Bild von Gal(X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8) in S_{4}

⟨(2, 3, 4), (1, 2)(3, 4)⟩ .

Die Liste ihrer Elemente erhält man via {u : u in sub<SymmetricGroup(4) | (2,3,4), (1,2)(3,4)>};, sie

war nicht verlang, sieht hier aber noch ganz hübsch aus :

\begin{matrix}⟨(2, 3, 4), (1, 2)(3, 4)⟩ = \\ \{id, (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)\} . \end{matrix}

(2) In Aufgabe 30.(2) wurde der Zerfällungskörper Q(a, b, c) konstruiert, mit

\begin{aligned}μ_{a,Q}(X) & = & X^{6} + X^{2} + 1 \\ μ_{b,Q(a)}(X) & = & X^{4} + a^{2}X^{2} + (a^{4} + 1) \\ μ_{c,Q(a,b,c)}(X) & = & X^{2} + (a^{2} + b^{2}) . \end{aligned}

Insbesondere war [Q(a, b, c) : Q] = 48 festgestellt worden. Es zerfiel X^{6} + X^{2} + 1 = (X − a)(X − b)(X − c)(X + a)(X + b)(X + c) .

4Factorisation(XXX^3 + ga2*XXX^2 + (ga2^2 + 4)*XXX + (ga2^3 + 4*ga2 + 8));

5Order(sub<SymmetricGroup(4) | (2,3,4), (1,2)(3,4)>);

An den damaligen Magma-Quelltext hängen wir noch die Definitionen

\begin{aligned}γ_{1} & = & a \\ γ_{2} & = & b \\ γ_{3} & = & c \\ γ_{4} & = & −a \\ γ_{5} & = & −b \\ γ_{6} & = & −c \end{aligned}

an.

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^6 + X^2 + 1);
KK<a> := ext<Q | X^6 + X^2 + 1>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^6 + XX^2 + 1);
KKK<b> := ext<KK | XX^4 + a^2*XX^2 + a^4 + 1>;
RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
Factorisation(XXX^6 + XXX^2 + 1);
KKKK<c> := ext<KKK | XXX^2 + b^2 + a^2>;
RRRR<XXXX> := PolynomialRing(KKKK);
Factorisation(XXXX^6 + XXXX^2 + 1);
ga1 := a;
ga2 := b;
ga3 := c;
ga4 := -a;
ga5 := -b;
ga6 := -c;

Es ist m = 3 und n = 6. Bestimmen wir das Bild von Gal(X^{6} + X^{2} + 1) in S_{6}.

[figure: Q(a, b, c); σ_{3}; ∼; Q(γ′_{1}, γ′_{2}, γ′_{3}); Q(a, b); σ_{2}; ∼; Q(γ′_{1}, γ′_{2}); Q(a); σ_{1}; ∼; Q(γ′_{1}); Q; Q]

Nullstellen bedeute im folgenden stets Nullstellen in Q(a, b, c).

Die Nullstellen von

μ_{a,Q}(X) = X^{6} + X^{2} + 1

sind γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4}, γ_{5} und γ_{6} (^{6}). Unter diesen haben wir ein γ′_{1} auszuwählen.

Fall γ′_{1} = γ_{1}. Es ist

μ_{b,Q(a)}^{σ_{1}}(X) = X^{4} + γ_{1}^{2}X^{2} + (γ_{1}^{4} + 1) ,

welches die Nullstellen γ_{2}, γ_{3}, γ_{5} und γ_{6} hat (^{7}). Unter diesen haben wir ein γ′_{2} auszuwählen.

6Factorisation(XXXX^6 + XXXX^2 + 1);

7Factorisation(XXXX^4 + ga1^2 * XXXX^2 + (ga1^4 + 1));

Subfall γ′_{2} = γ_{2}. Es ist

μ_{c,Q(a,b)}^{σ_{2}}(X) = X^{2} + (γ_{1}^{2} + γ_{2}^{2}) ,

welches die Nullstellen γ_{3} und γ_{6} hat (^{8}). Unter diesen haben wir ein γ′_{3} auszuwählen. Subsubfall γ′_{3} = γ_{3}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{2} & = & γ_{5} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{3} & = & γ_{6} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}) = id.

Zwischenstand : |⟨id⟩| = 1 < 48.

Subsubfall γ′_{3} = γ_{6}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{2}, γ_{6}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{2} & = & γ_{5} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{6} & = & γ_{3} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 6 & 4 & 5 & 3 \end{matrix}) = (3, 6).

Zwischenstand : |⟨(3, 6)⟩| = 2.

Subfall γ′_{2} = γ_{3}. Es ist

μ_{c,Q(a,b)}^{σ_{2}}(X) = X^{2} + (γ_{1}^{2} + γ_{3}^{2}) ,

welches die Nullstellen γ_{2} und γ_{5} hat (^{9}). Unter diesen haben wir ein γ′_{3} auszuwählen. Subsubfall γ′_{3} = γ_{2}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{3}, γ_{2}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{3} & = & γ_{6} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{2} & = & γ_{5} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 6 & 5 \end{matrix}) = (2, 3)(5, 6).

Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6)⟩| = 8 < 48 (^{10}).

Subsubfall γ′_{3} = γ_{5}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{3}, γ_{5}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{3} & = & γ_{6} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{5} & = & γ_{2} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 4 & 6 & 2 \end{matrix}) = (2, 3, 5, 6).

Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (2, 3, 5, 6)⟩| = 8 < 48 (^{11}). Es kann (2, 3, 5, 6) weiters wieder entfallen.

8Factorisation(XXXX^2 + (ga1^2 + ga2^2)); 9Factorisation(XXXX^2 + (ga1^2 + ga3^2)); 10Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6)>); 11Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (2,3,5,6)>);

Subfall γ′_{2} = γ_{5}. Es ist

μ_{c,Q(a,b)}^{σ_{2}}(X) = X^{2} + (γ_{1}^{2} + γ_{5}^{2}) ,

welches die Nullstellen γ_{3} und γ_{6} hat (^{12}). Unter diesen haben wir ein γ′_{3} auszuwählen.

Subsubfall γ′_{3} = γ_{3}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{5}, γ_{3}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{5} & = & γ_{2} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{3} & = & γ_{6} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 & 6 \end{matrix}) = (2, 5).

Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (2, 5)⟩| = 8 < 48 (^{13}). Es kann (2, 5) weiters wieder entfallen.

Subsubfall γ′_{3} = γ_{6}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{5}, γ_{6}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{5} & = & γ_{2} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{6} & = & γ_{3} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 6 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) = (2, 5)(3, 6).

Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (2, 5)(3, 6)⟩| = 8 < 48 (^{14}). Es kann (2, 5)(3, 6) weiters wieder entfallen.

Subfall γ′_{2} = γ_{6}. Es ist

μ_{c,Q(a,b)}^{σ_{2}}(X) = X^{2} + (γ_{1}^{2} + γ_{6}^{2}) ,

welches die Nullstellen γ_{2} und γ_{5} hat (^{15}). Unter diesen haben wir ein γ′_{3} auszuwählen.

Subsubfall γ′_{3} = γ_{2}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{6}, γ_{2}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{6} & = & γ_{3} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{2} & = & γ_{5} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 6 & 2 & 4 & 3 & 5 \end{matrix}) = (2, 6, 5, 3).

Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (2, 6, 5, 3)⟩| = 8 < 48 (^{16}). Es kann (2, 6, 5, 3) weiters wieder entfallen.

Subsubfall γ′_{3} = γ_{5}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{1}, γ_{6}, γ_{5}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{6} & = & γ_{3} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{5} & = & γ_{2} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix}) = (2, 6)(3, 5).

Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (2, 6)(3, 5)⟩| = 8 < 48 (^{17}). Es kann (2, 6)(3, 5) weiters wieder entfallen.

12Factorisation(XXXX^2 + (ga1^2 + ga5^2)); 13Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (2,5)>); 14Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (2,5)(3,6)>); 15Factorisation(XXXX^2 + (ga1^2 + ga6^2)); 16Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (2,6,5,3)>); 17Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (2,6)(3,5)>);

Fall γ′_{1} = γ_{2}. Es ist

μ_{b,Q(a)}^{σ_{1}}(X) = X^{4} + γ_{2}^{2}X^{2} + (γ_{2}^{4} + 1) ,

welches die Nullstellen γ_{1}, γ_{3}, γ_{4} und γ_{6} hat (^{18}). Unter diesen haben wir ein γ′_{2} auszuwählen.

Subfall γ′_{2} = γ_{1}. Es ist

μ_{c,Q(a,b)}^{σ_{2}}(X) = X^{2} + (γ_{2}^{2} + γ_{1}^{2}) ,

welches die Nullstellen γ_{3} und γ_{6} hat (^{19}). Unter diesen haben wir ein γ′_{3} auszuwählen.

Subsubfall γ′_{3} = γ_{3}. Wir erhalten das zulässige Tupel (γ_{2}, γ_{1}, γ_{3}). Es werden

\begin{aligned}σ_{3}(γ_{4}) & = & −γ_{2} & = & γ_{5} \\ σ_{3}(γ_{5}) & = & −γ_{1} & = & γ_{4} \\ σ_{3}(γ_{6}) & = & −γ_{3} & = & γ_{6} . \end{aligned}

Insgesamt σ̄_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 4 & 6 \end{matrix}) = (1, 2)(4, 5).
Zwischenstand : |⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (1, 2)(4, 5)⟩| = 48 (^{20}).

Abbruch der Fallunterscheidungen, da fertig! Als Ergebnis erhalten wir das isomorphe Bild von Gal(X^{6} + X^{2} + 1) in S_{6}

⟨(3, 6), (2, 3)(5, 6), (1, 2)(4, 5)⟩ .

Die Liste ihrer Elemente erhält man mit

{u : u in sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (1,2)(4,5)>};

Mit etwas mehr Erfahrung kann man sich auch “verdächtige Fälle” auswählen, um so ein langes Stagnieren des Erzeugnisses, wie hier geschehen, zu verhindern zu versuchen.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html

18Factorisation(XXXX^4 + ga2^2 * XXXX^2 + (ga2^4 + 1));

19Factorisation(XXXX^2 + (ga2^2 + ga1^2));

20Order(sub<SymmetricGroup(6) | (3,6), (2,3)(5,6), (1,2)(4,5)>);