M. Künzer

Galoistheorie, WS 08/09

Lösung 10

Aufgabe 33

(1) Nach dem Korollar in §2.5.4. existiert (bis auf Isomorphie genau) ein Körper mit p^{k} Elementen, genannt F_{p^{k}}.

Nach Aufgabe 27.(5) gibt es in F_{p^{k}}^{×} ein Element y mit o(y) = p^{k} − 1. Mit Aufgabe 11.(1.b) ist |⟨y⟩| = o(y), und folglich

F_{p^{k}}^{×} = ⟨y⟩ .

In der Lösung zu Aufgabe 11.(1.b) haben wir gesehen, daß

⟨y⟩ = {y^{i} : i ∈ Z} = {y^{i} : i ∈ [0, o(y) − 1]} = {y^{i} : i ∈ [0, p^{k} − 2]} .

Insgesamt ist also

F_{p^{k}}^{×} = {y^{i} : i ∈ [0, p^{k} − 2]}

Insbesondere ist

F_{p^{k}} = F_{p}(y) = {f(y) : f(X) ∈ F_{p}[X]} ,

da in letzterer Menge das Element y^{i} für alle i ⩾ 0 und das Element 0 auftreten.

Mit Satz 2.(2) (Minimalpolynom) ist

deg μ_{y,F_{p}} = [F_{p}(y) : F_{p}] = [F_{p^{k}} : F_{p}] = k .

Mit Satz 2.(3) ist μ_{y,F_{p}}(X) irreduzibel.

(2) Sei K := F_{p}[T]/f(T)F_{p}[T]. Sei y := T + f(T)F_{p}[T] ∈ K^{×}. Es ist o(y) ein Teiler von |K^{×}| = p^{k} − 1. Also ist y^{p^{k}} = y · y^{p^{k}−1} = y.

Da y somit eine Nullstelle von X^{p^{k}} − X ist ist mit Satz 2.(2) das Minimalpolynom μ_{y,F_{p}}(X) ein Teiler von X^{p^{k}} −X in F_{p}[X]. Nun ist aber μ_{y,F_{p}}(X) = f(X), e.g. da dies ein normiertes irreduzibles Polynom mit Nullstelle y ist.

Sei z ∈ K^{×}. Genauso wie für y folgt auch, daß z eine Nullstelle von X^{p^{k}} − X ist. Ferner ist 0 eine Nullstelle dieses Polynoms. Also hat dieses Polynom sämtliche Elemente von K als Nullstelle. Sukzessives Abdividieren und Gradvergleich liefert

X^{p^{k}} − X = ∏_{z∈K}(X − z) ∈ K[X] .

Da nun f(X) auch in K[X] ein Teiler von X^{p^{k}} − X ist, folgt, daß f(X) in K[X] in Linearfaktoren zerfällt (von denen keiner mit Exponent ⩾ 2 auftritt).

Da in der Zerlegung von X^{p^{k}} −X in K[X] kein Linearfaktor mit Exponent ⩾ 2 auftritt, kann f(X)^{2} das Polynom X^{p^{k}} − X in K[X] und daher auch in F_{p}[X] nicht teilen. (Es folgt auch noch, daß in der Zerlegung von f(X) in K[X] kein Linearfaktor mit Exponent ⩾ 2 auftritt.)

Aufgabe 34

(1) Sei Q(a, b)|Q mit a^{3} + a + 1 = 0 und b^{2} + ab + (a^{2} + 1) = 0. Dann wird

X^{3} + X + 1 = (X − a)(X − b)(X + a + b) ∈ Q(a, b)[X]

Da auch Q(a, b, −a − b) = Q(a, b), ist Q(a, b) der Zerfällungskörper von X^{3} + X + 1 ∈ Q[X].

Es ist [Q(a, b) : Q] = [Q(a, b) : Q(a)][Q(a) : Q] = 2 · 3 = 6.

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^3 + X + 1);
KK<a> := ext<Q | X^3 + X + 1>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^3 + XX + 1);
KKK<b> := ext<KK | XX^2 + a*XX + a^2 + 1>;
RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
Factorisation(XXX^3 + XXX + 1);

(2) Sei Q(a, b)|Q mit a^{4} + 4a^{2} + 4a + 8 = 0 und b^{3} + ab^{2} + (a^{2} + 4)b + (a^{3} + 4a + 8) = 0. In Q(a, b)[X] wird

X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8
= (X − a) · (X − b)·

·(X + \frac{1}{28}(−2a^{3} + 3a^{2} − 2a − 6)b^{2} + \frac{1}{14}(3a^{3} − a^{2} + 10a + 16)b + \frac{1}{14}(−2a^{3} + 3a^{2} − 2a − 20))· ·(X + \frac{1}{28}(2a^{3} − 3a^{2} + 2a + 6)b^{2} + \frac{1}{14}(−3a^{3} + a^{2} − 10a − 2)b + \frac{1}{14}(2a^{3} − 3a^{2} + 16a + 20)) .

Da Q(a, b) von den Nullstellen dieses Polynoms erzeugt wird, ist Q(a, b) der Zerfällungskörper von X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8 ∈ Q[X].

Es ist [Q(a, b) : Q] = [Q(a, b) : Q(a)][Q(a) : Q] = 3 · 4 = 12.

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^4 + 4*X^2 + 8*X + 8);
KK<a> := ext<Q | X^4 + 4*X^2 + 8*X + 8>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^4 + 4*XX^2 + 8*XX + 8);
KKK<b> := ext<KK | XX^3 + a*XX^2 + (a^2 + 4)*XX + a^3 + 4*a + 8>;
RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
Factorisation(XXX^4 + 4*XXX^2 + 8*XXX + 8);

(3) Sei Q(a, b, c)|Q mit a^{6} − a^{3} + 2 = 0, b^{3} + (a^{3} − 1) = 0 und c^{2} + ac + a^{2} = 0. In Q(a, b, c)[X] wird

X^{6} − X^{3} + 2 = (X − a)(X − b)(X − c)(X + c + a)(X − \frac{1}{2}(a^{5} − a^{2})bc + b)(X + \frac{1}{2}(a^{5} − a^{2})bc) .

Q := Rationals();
R<X> := PolynomialRing(Q);
Factorisation(X^6 - X^3 + 2);
KK<a> := ext<Q | X^6 - X^3 + 2>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^6 - XX^3 + 2);
KKK<b> := ext<KK | XX^3 + a^3 - 1>;
RRR<XXX> := PolynomialRing(KKK);
Factorisation(XXX^6 - XXX^3 + 2);
KKKK<c> := ext<KKK | XXX^2 + a*XXX + a^2>;
RRRR<XXXX> := PolynomialRing(KKKK);
Factorisation(XXXX^6 - XXXX^3 + 2);

Da Q(a, b, c) von den Nullstellen dieses Polynoms erzeugt wird, ist Q(a, b, c) der Zerfällungskörper von X^{6} − X^{3} + 2 ∈ Q[X].

Es ist [Q(a, b, c) : Q] = [Q(a, b, c) : Q(a, b)][Q(a, b) : Q(a)][Q(a) : Q] = 2 · 3 · 6 = 36.

(4) In Q(\sqrt{2}, i) wird

X^{2} + 1 = (X + i)(X − i) .

Somit ist Q(\sqrt{2}, i) der Zerfällungskörper von X^{2} + 1 über Q(\sqrt{2}).

Es wird [Q(\sqrt{2}, i) : Q(\sqrt{)}] = 2, da X^{2} + 1 in Q(\sqrt{2})[X] irreduzibel ist, da es ja sogar in R[X] irreduzibel ist. Magma ist nicht unbedingt erforderlich. Will man es anwenden, sieht das z.B. wie folgt aus.

Q := Rationals();
S<T> := PolynomialRing(Q);
K<a> := ext<Q | T^2 - 2>;
R<X> := PolynomialRing(K);
Factorisation(X^2 + 1);
KK<b> := ext<K | X^2 + 1>;
RR<XX> := PolynomialRing(KK);
Factorisation(XX^2 + 1);

Teilaufgabe (4) diene nur der Illustration, daß der Grundkörper auch eine Erweiterung von Q sein kann.

Aufgabe 35

Sei L ein Zerfällungskörper von X^{p} − a. Sei b ∈ L eine Nullstelle von X^{p} − a, i.e. sei b^{p} = a. Dann ist (X − b)^{p} = X^{p} − b^{p} = X^{p} − a in L[X].

Sei angenommen, es hat X^{p} − a einen nichttrivialen normierten Faktor f(X) ∈ K[X]. Dann ist f(X) in L[X] von der Form (X − b)^{s} für ein s ∈ [1, p − 1]. Insbesondere ist f_{0} = (−b)^{s} ∈ K. Seien u, v ∈ Z so, daß su + pv = 1. Es folgt

−b = (−b)^{su+pv} = \underbrace{((−b)^{s})^{u}}_{∈ K} \underbrace{(−1)^{pv}a^{v}}_{∈ K} ∈ K ,

und mithin b ∈ K. Also ist a die p-te Potenz des Elements b von K, im Widerspruch zur Voraussetzung an a.

Somit ist X^{p} − a als in K[X] irreduzibel nachgewiesen.

Nun ist μ_{b,K}(X) = X^{p} − a, da dies ein normiertes irreduzibles Polynom in K[X] mit Nullstelle b ist. Mit Satz 2.(2) (Minimalpolynom) folgt nun, daß [K(b) : K] = p. Da andererseits, wie oben schon festgestellt,

X^{p} − a = (X − b)^{p} ∈ K(b)[X]

ist, ist K(b) ein Zerfällungskörper von X^{p} − a.

Da zwei Zerfällungskörper isomorph sind, folgt [L : K] = [K(b) : K] = p. (Da desweiteren K(b) ⊆ L, folgt K(b) = L.)

Da der Frobenius für endliche Körper bijektiv ist, kann ein Element a ∈ K wie in der Aufgabenstellung vorausgesetzt nur für einen unendlichen Körper K der Charakteristik p (wie z.B. F_{p}(T)) existieren.

Aufgabe 36

(1) Die Aussage ist falsch. So z.B. ist in Aufgabe 34.(1) (in den Bezeichnungen der dortigen Lösung) zwar μ_{a,Q}(X) = X^{3} + X + 1, aber Q(a) kein Zerfällungskörper von X^{3} + X + 1, da die Zerlegung dieses Polynom in irreduzible Faktoren in Q(a)[X] die Gestalt

X^{3} + X + 1 = (X − a)(X^{2} + aX + a^{2} + 1)

hat, und darin also ein Faktor von Grad ⩾ 2 aufgetreten ist.

(2) Die Aussage ist richtig. Denn es ist X − y ein Teiler von μ_{y,K}(X) in K(y)[X], da μ_{y,K}(y) = 0. Es ist aber mit Satz 2.(2) (Minimalpolynom) deg μ_{y,K} = [K(y) : K] = 2. Somit liefert Division die Zerlegung

μ_{y,K}(X) = (X − y)(X − z)

in K(y)[X]. Da insbesondere z ∈ K(y) ist, ist K(y, z) = K(y) der Zerfällungskörper von μ_{y,K}(X).

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html