M. Künzer Abgabe Mittwoch, 14.01.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 9

Der Magma Calculator findet sich auf http://magma.maths.usyd.edu.au/calc . Aufgabe 29 (12 Punkte) Zerlege f(X) ∈ K[X] in irreduzible Polynome unter Verwendung von Magma. (Hinweis: Q via Q := Rationals(), F_{2} via F := GF(2) eingeben.)

(1) f(X) = X^{4} + X + 1 ∈ Q[X].

(2) f(X) = X^{5} + X + 1 ∈ Q[X].

(3) f(X) = X^{5} + X + 1 ∈ Q(i\sqrt{3})[X].

(4) f(X) = X^{8} − X ∈ F_{2}[X].

(5) f(X) = X^{8} − X ∈ F_{8}[X].

(6) f(X) = X^{15} − X + 1 ∈ F_{9}[X]. Aufgabe 30 (3+5+3 Punkte) Sei f(X) ∈ K[X] gegeben. Konstruiere in Magma eine endliche Körpererweiterung L von K so, daß f(X) ∈ L[X] in Linearfaktoren zerfällt. Gib diese Faktorisierung an (unter Verwendung geeigneter Bezeichnungsweisen). Bestimme [L : K].

(1) f(X) = X^{4} + X^{2} + 1 ∈ Q[X].

(2) f(X) = X^{6} + X^{2} + 1 ∈ Q[X].

(3) f(X) = X^{4} + X + 1 ∈ F_{4}[X]. Aufgabe 31 (10 Punkte) Verwende Magma für Faktorisierungen, aber nicht, um Minimalpolynome direkt auszugeben.

(1) Bestimme μ_{\sqrt{2}+\sqrt{3},Q}(X). Ist Q(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})? (Hinweis: Gradvergleich.)

(2) Bestimme die Minimalpolynome aller Elemente von F_{8}. Gibt es einen Automorphismus von F_{8}, der nicht gleich einer Potenz des Frobeniusautomorphismus ist?

Aufgabe 32 (3 Punkte) Sei L|K eine Körpererweiterung. Sei y ∈ L algebraisch über K. Sei deg μ_{y,K} ungerade. Zeige, daß deg μ_{y^{2},K} = deg μ_{y,K} ist. Ist μ_{y,K}(X) = μ_{y^{2},K}(X)?

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html